Vitesse Maximale du Piston

Introduction :

Nous allons nous intéresser à la vitesse maximale atteinte par le piston au cours d'un cycle sous l'hypothèse d'un régime de rotation de l'arbre moteur constant.

 

  1. Description cinématique - Relations géométriques :
    1. Schéma de principe :

 

 

  

    1. Description du mouvement - Notations :

 

 

    1. Première relation entre L et R  :

Le bon sens indique qu'une condition sine qua non d'existence du mouvement décrit en 1.2. est : L>R. En effet, le point géométrique B ne doit jamais "passer en dessous du point O". Cette condition sera toujours satisfaite puisque au point mort bas (q =-p /2 [2p ] et y=L-R), le piston ne doit pas entrer en contact avec l'arbre vilebrequin. Il ne doit pas non plus intercepter l'extrémité du maneton fixée sur l'arbre. On retiendra ces considération sous la forme suivante :

(¨ )

    1. Relations géométriques :

En introduisant d'une part le projeté du point A sur l'axe Oy, puis d'autre part l'angle j formé par les axes Oy et AB, il est facile de voir que :

En isolant les termes Lcosj et Lsinj , puis en sommant leurs carrés, on obtient une relation de Pythagore généralisée ou relation de Carnot :

 

  1. Caractérisation de la vitesse maximale du piston :

Nous l'avons vu, la vitesse du piston correspond à la vitesse du point géométrique B se déplaçant le long de l'axe Oy dans la limite yÎ [L-R ; L+R]. Nous allons donc commencer par trouver une relation entre la vitesse v du piston et la position instantanée y de l'articulation B.

    1. Relation mathématique vitesse/position :

La vitesse v et donnée par la dérivée par rapport au temps de y. La dérivée par rapport au temps de l'angle-vilebrequin q sera notée w . En résumé, on a :

En dérivant l'équation (1) par rapport au temps, on obtient :

Cette dernière expression permet d'expliciter la vitesse en fonction du couple (y,q ) :

Cette expression a bien lieu d'être puisque le dénominateur est toujours strictement positif. Pour le prouver, supposons que le dénominateur s'annule. Il existerait donc un couple (y0,q 0) vérifiant :

En portant dans (1), on aurait :

Visiblement, il y a une contradiction et le dénominateur de (2) est bien de signe fixe. En se plaçant par exemple en q =0, on s'aperçoit que cette quantité est strictement positive puisque d'après (¨ ), y est toujours strictement positif. On conclue que le dénominateur est partout strictement positif.

Cette dernière remarque associée à l'équation (2) prouve que :

v est du même signe que w *cosq (¨ ¨ )

Dans le but d'établir une expression explicite de v comme fonction de y, éliminons q entre les équations (1) et (2) :

L'identité conduit ainsi à une relation entre v et y qui se met sous la forme :

    1. Remarques :
      1. Régime de rotation uniforme :

Cette condition s'exprime simplement comme suit :

(¨ ¨ ¨ )

On pourra prendre arbitrairement w >0.

      1. Propriété de symétrie de la vitesse du piston :

La relation (2) donne une relation explicite de la vitesse comme fonction de y et de q . Compte tenu de la remarque (¨ ¨ ¨ ), lorsque le maneton occupe 2 positions symétriques par rapport à l'axe Oy, on aura :

Cette remarque est essentielle puisqu'elle stipule que l'on va pouvoir raisonner, dans toute l'étude qui suit, sur des valeurs positives de la vitesse du piston en se plaçant dans la région où q est compris entre -p /2 et p /2 modulo 2p . En effet, ayant pris w >0, la remarque (¨ ¨ ) permet d'affirmer que v et cosq sont de même signe. Physiquement, ceci correspond au mouvement du piston lors de son ascension entre le point mort bas et le point mort haut. Ce qui se résume :

L'équation (3) a montré qu'il était possible d'expliciter v en fonction d'y, et donc conformément à ce qui a été dit précédemment, on raisonnera toujours sur l'intervalle croissant [L-R ; L+R] où y croit tandis que v est positive.

    1. Caractérisation de la vitesse maximale du piston :
      1. Existence :

Au point mort bas et point mort haut, la vitesse du piston est nulle. Or la vitesse du piston est d'une part continue lorsque y croît sur l'intervalle [L-R ; L+R], et d'autre part strictement positive sur l'intervalle ]L-R ; L+R[ (compte tenu de ce qui a été dit en 2.2.2.). Il existe nécessairement une valeur ymax comprise entre L-R et L+R, telle que v(ymax)>0 telle que v(ymax)³ v(y), quelque soit la valeur prise par yÎ [L-R ; L+R]. On a donc ainsi définit la vitesse maximale atteinte par le piston vmax=v(ymax).

NB : on n'a nullement montré l'unicité de la vitesse maximale.

      1. Equation vérifiée par ymax :

L'équation (3) incite à rechercher la côte ymax maximisant la vitesse. Cette même équation permet de montrer la dérivabilité de l'application y(r) v(y). Etant donné les propriétés de v, on cherchera donc à résoudre l'équation :

L'équation vérifiée par ymax s'obtient de la manière suivante :

  1. on dérive l'équation (3) par rapport à y
  2. on supprime le terme en v'(y) puisqu'il est nul
  3. on multiplie l'équation par (y2+L2-R2)
  4. on obtient une équation dans laquelle le groupement v2(y2+L2-R2)2 est remplacé par son expression (fonction de la seule variable y) déduite de l'équation (3)
  5. on simplifie par 2w 2y
  6. on introduit les notations :

  1. enfin on développe puis on ordonne selon les puissances de Y.

Au bout du compte, on obtient une équation algébrique de degré 3 en Y, dont (ymax)2 est solution :

C'est cette équation qu'il s'agit donc de résoudre.

 

  1. Etude de l'équation algébrique d'ordre 3 :

Chaque classe d'équations algébrique d'ordre 3 admet ses propres techniques de résolutions, dépendant en particulier du nombre de racines réelles. Après réduction, on va prouver que l'équation (6) admet 3 racines réelles distinctes. La résolution à proprement parler de cette équation interviendra dans la partie 4. où nous appliquerons la méthode de "la trisection de l'angle", toute indiquée pour cette classe d'équation.

    1. Réduction de l'équation :

Il s'agit de se ramener en premier lieu a une équation algébrique du 3ème ordre réduite de la forme :

Ceci passe par le changement de variable Z=Y+a qui conduit à la forme indiquée :

On identifie alors les valeurs des coefficients p et q de l'équation réduite :

(¨ ¨ ¨ ¨ )

    1. Analyse préliminaire du nombre de racines réelles de l'équation (6) :

L'équation algébrique (6) est :

Ceci assure d'une part l'existence d'une racine réelle (compte tenu du Théorème des valeurs intermédiaires).

D'autre part le degré de l'équation impose que dans le corps des nombres complexes, l'équation (6) admet 3 racines éventuellement confondues.

Soulignons que si un nombre complexe non réel est racine d'une équation algébrique du troisième ordre à coefficients réels, alors son conjugué est également racine de l'équation.

L'équation (6) admettra alors, soit aucune racine complexe non réelle, soit 2 racines complexes non réelles conjuguées.

Nous allons maintenant montrer comment (¨ ¨ ¨ ¨ ) implique que l'équation (6) admet trois racines réelles distinctes.

    1. Nombre et localisation des racines réelles de l'équation (6) :

Notons P le polynôme qui à Z associe Z3+pZ+q. L'équation (6) s'écrit alors simplement P (Z)=0.

      1. Etude des variations du polynôme P  :

On a :

Dans notre cas précis, (¨ ¨ ¨ ¨ ) nous permet de conclure que p est strictement négatif. L'équation P '(Z)=0 admet alors 2 racines réelles distinctes et opposées. Notons les Z1 et Z2 :

On peut en déduire les variations de P  :

 

 

 

 

 

 

 

      1. Nombre de racines réelles :

Ce raisonnement repose sur le signe des quantités P (Z1) et P (Z2). Le signe des paramètres p et q est donné par (¨ ¨ ¨ ¨ ) :

Il est évident que P (Z1) est de signe strictement positif. Rappelons en effet que l'on a l'inégalité Z1<0<Z2 ce qui d'après les variations de P , se traduit par la relation :

Ce résultat se vérifie analytiquement puisque :

Calculons de la même façon P (Z2) :

Concernant le signe de P (Z2), raisonnons par l'absurde. A cet effet, on va supposer que P (Z2) et positif ou nul, ce qui s'écrit encore :

Or q est strictement positif donc il est légitime d'élever au carré l'inégalité précédente, et on aurait dans ce cas la relation :

En fait de même qu'on définit un discriminant pour les équations algébriques du second ordre, D est ici le discriminant des équations algébrique du 3ème ordre de la forme Z3+pZ+q. Il existe ainsi un formalisme de Cardan dans lequel les racines de l'équation Z3+pZ+q sont exprimées en fonction de D . Ce n'est nullement notre propos ici, et on a simplement introduit D par souci de commodité.

Dans notre cas précis, l'expression de D comme fonction de L et R s'écrit :

Visiblement, D est strictement négatif, ce qui est en contradiction avec notre hypothèse quant au signe de P (Z2). On en déduit donc que P (Z2) est strictement négatif.

On retiendra l'ensemble des remarques suivantes :

(¨ )

De ces résultats et des variations de P , on en déduit que l'équation algébrique (6) admet 3 racines réelles distinctes.

NB : Dans le formalisme de Cardan ce résultat est directement équivalent à D <0.

 

 

 

On notera Za, Zb et Zc les 3 racines de l'équation (6) qui ont pour localisation :

(¨ ¨ )

 

  1. Solution physique du problème :

Dans la partie précédente, nous avons volontairement laisser de côté le caractère physique de la solution recherchée. Nous nous sommes en effet contenté de déterminer la classe de notre équation à savoir celle des équations algébrique d'ordre 3 à coefficients réels et à racines réelles 2 à 2 distinctes, ce que Cardan résume sous la seule caractérisation D <0.

    1. Localisation de la solution du problème physique :

Rappelons-nous que lorsque nous avons établi l'équation (5), celle-ci offrait une caractérisation de la côte y maximisant la vitesse du piston. On avait en particulier :

Ceci se traduit Z = y2+a par l'inégalité :

Introduisons les notations :

(7) peut ainsi se réécrire :

La solution physique de notre problème est donc obtenue en résolvant l'équation (6) sous la contrainte (7').

On peut immédiatement affirmer que Za n'est pas solution du problème physique. En effet, d'après (¨ ¨ ), Za est strictement négatif et est par conséquent strictement inférieur à Zm.

On va maintenant déterminer qui de Zb ou Zc est la solution au problème physique.

      1. Localisation de ZM :

On montre facilement que :

(¨ ¨ ¨ )

La seconde inégalité étant toujours vraie, on en déduit que la première est satisfaite. Ensuite, il s'agit d'établir une inégalité entre ZM et Zc.

Pour cela, évaluons P (ZM) :

Les variations de P appliquées à l'inégalité (¨ ¨ ¨ ), puis le signe de P (ZM) conduisent à une localisation de ZM :

(¨ ¨ ¨ ¨ )

      1. Localisation de Zm :

On sait a priori que Zm est strictement positif. On va en préciser une location vis-à-vis de Zb et de Zc. Pour cela, calculons la valeur de P (Zm) :

Cette quantité est visiblement strictement négative, ce qui compte tenu des variations de P se traduit par :

(¨ ¨ ¨ ¨ ¨ )

      1. Identification de la solution au problème physique :

Les inégalités (¨ ¨ ¨ ¨ ) puis (¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ) permettent de conclure quant à la localisation de la solution du problème.

En effet, Zc est LA solution physique du problème. On retiendra l'inégalité la localisant :

Remarque : On note qu'une localisation relativement intéressante de Zm vis-à-vis de Z2 s'obtient rapidement puisqu'on montre que Zm-Z2 est du signe de L-4R. On s'aperçoit que la situation où la bielle est 4 fois plus longue que le maneton joue un rôle particulier.

    1. Détermination de la solution au problème :

Nous allons maintenant résoudre l'équation (6) par la méthode de "la trisection de l'angle" qui correspond à la technique analytique la plus efficace face aux équations dont le discriminant est strictement négatif. Par ailleurs, nous adapterons la méthode à notre cas puisqu'une résolution partielle de l'équation (6) nous suffit. En effet, il s'agit pour nous d'exprimer Zc, cette à dire la plus grande des racines de l'équation (6).

Cette méthode repose sur une localisation historique des 3 racines. En effet les racines sont contenues dans le segment [-2Z2,2Z2]. En effet :

Le signe de P (2Z2) est évident, celui de P (-2Z2) découle de D <0. Les variations de P suffisent à confirmer la localisation proposée pour les 3 racines.

La méthode de "la trisection de l'angle" commence alors par le changement de variable :

En effet, compte tenu de la localisation des racines, si Z est racine, il existe un unique angle F Î [0,p ] telle que la relation (9) soit vérifiée.

Nous avons vu que nous concernant, il s'agit simplement d'exprimer analytiquement la plus grande des racines de l'équation (6) à savoir Zc. Appelons F c l'angle compris entre 0 et p , associé à la racine Zc conformément à la relation (9). Avec ce qui a été dit précédemment, il est immédiat que :

En tenant compte de (9), l'inégalité (10) se réécrit :

Or F cÎ [0,p ], donc on est en mesure de donner une localisation plus précise de l'angle F c, relatif la racine Zc :

La relation (11) caractérise de manière unique la solution au problème physique. Rappelons la formule de triplement :

Cette dernière relation permet d'écrire lorsqu'on porte (9) dans l'équation (6) :

En observant simplement que la relation L>R est toujours satisfaite, on peut s'assurer que cos(3F c) vérifie :

Au passage, on observe une justification de l'appellation "trisection de l'angle". 3F c est compris entre 0 et p , et on obtient sans aucune ambiguïté l'expression de F c :

De (9) et (13), on déduit l'expression définitive de la solution Zc au problème physique :

    1. Commentaires sur le comportement de Zc :

On ne va pas trop s'étendre, mais compte tenu de l'identité :

On s'aperçoit que :

Ceci peut par exemple s'interpréter en considérant le cas limite R(r) 0, où le point géométrique B serait constamment à la côte y=L. On retrouve bien que Y= L2 impliquerait Z=Y+a=2L2.

 

  1. Expression analytique de la vitesse maximale du piston :
    1. Notations :

On notera :

NB : il sera plus intéressant d'exprimer VMax en fonction des paramètres C et de h , plutôt qu'en fonction de R et L.

 

 

    1. Expression de VMax en fonction de Zc :

L'équation (3) montre que v2 s'explicite en fonction de y2. On obtient donc aisément l'expression de v2 en fonction de Y :

Soit N le groupement 4R2Y-(Y-a)2. Compte tenu du changement de variable Z=Y+a, on voit qu'il est simple d'exprimer VMax en fonction de Zc :

On va arranger cette expression en remarquant que N s'écrit :

Et comme Zc est solution de l'équation Zc3+pZc+q, N s'écrit finalement :

On déduit la relation somme toute assez sympathique reliant VMax à Zc :

(¨ )

NB : on vérifie que Zc>2a puisque cette inégalité se résume à f(h )>Ö (1-h 2), inégalité toujours satisfaite puisque sur ]0,1[ où f(h )>1.

    1. Expression de VMax en fonction des paramètres C et h :

Il s'agit d'observer que :

(¨ ¨ )

De (¨ ) et (¨ ¨ ), on déduit l'expression de VMax :

 

 

On a volontairement choisi de mettre en évidence le facteur w C/2 qui trouve deux interprétations intéressantes :

de VMax lorsque h tend vers 0.

En effet, on note que :

Ce qui pour VMax donne :

Cette dernière relation nous donne une idée du comportement de VMax comme fonction de h . En particulier, on comprend que lorsque h tend vers 0, la vitesse maximale du piston tend à devenir indépendante de la longueur de la bielle. En effet, ne dépend que de la vitesse de rotation et de la course du piston.

Ces remarques nous incitent à étudier le comportement de VMax normé par .

    1. Comportement de VMax - Définition d'un coefficient de vitesse maximale :

On va ainsi définir le coefficient de vitesse maximale :

Celui-ci ne dépend que de h , comme le montrait l'expression (15), à savoir :

Le découplage entre C et h nous permet de nous focaliser sur l'influence du paramètre h sur le coefficient de vitesse maximale.

On en a en fait déjà vu le développement de Taylor :

Mais visualisons l'évolution de ce coefficient vis-à-vis du paramètre h :

 

Ce coefficient est visiblement croissant de ]0,1[ vers ]1,2[, mais en pratique, on peut dire qu'on a toujours L>2R, c'est à dire que le coefficient reste compris entre 1 et 1.12 ce qui laisse penser que dans les cas courants de dimensionnement du système maneton/vilebrequin, on peut dire que l'approximation VMax " w C/2 reste pleinement justifiée.

Plus précisément, on peut dire qu'une valeur h " 0.25 (correspondant à L" 4R) est une caractéristique fréquemment observée sur les moteurs, auquel cas le coefficient de vitesse maximale est voisin de 1.03 soit l'unité à moins de 5% près.

On retiendra que :

=w C/2 reste une bonne approximation de VMax .

    1. Compléments - Caractérisation de l'angle q Max qui assure V=VMax :

On va donner une expression analytique de la valeur de q Max à partir de la relation établie dans la partie 1. donnant sinq en fonction de y.

Il est facile de d'exprimer sinq Max en fonction de Zc :

On avait montré concernant (¨ ) que Zc>2a montrant ainsi que sinq Max>0. On peut donc raisonner de manière équivalente sur l'égalité ci-dessus élevée au carré. Par ailleurs, et comme nous l'avons précisé au début de cette étude, nous prendrons la valeur de q Max comprise entre 0 et p /2. Et bien entendu, nous aurions en q =p -q Max la vitesse v (algébrique) égale à -VMax .

Or Zc est solution de l'équation (6) donc :

Ceci permet de réécrire à la fois le numérateur et le dénominateur de la relation donnant q Max en fonction de Zc :

On va terminer en exprimant q Max en fonction de h , f(h ) :

Visualisons la courbe q Max (exprimé en degrés) comme fonction de h  :

On remarquera que pour les valeurs usuelles de h , à savoir h <0.5, la relation entre q Max et h est globalement linéaire. En effet, le développement de Taylor de q Max (exprimé en radians) donne :

C'est à dire que sur la plage des valeurs industrielles de h , q Max est égal à h avec une bonne approximation.

C'est à dire que sur la plage des valeurs industrielles de h, qMax est égal à h avec une bonne approximation.

 

En prenant h=0.25 (valeur classique du rapport R/L), on obtient avec la formule théorique qMax =13.28°, et avec l'approximation qMax "h, on obtiendrait qMax =14.32°

 

 

1.    Validation des calculs :

 

En repartant de l'équation (2) donnant l'expression de la vitesse en fonction de y et q, puis de l'équation (3) donnant la relation explicite entre v et y, on a représenter l'évolution de la vitesse entre point mort bas et point mort haut en fonction de l'angle-vilebrequin, pour les paramètres R=1 et L=4, soit encore h=0.25 et C=2. Sous Excel, et conformément à la courbe ci-dessous, on a pu estimer une valeur de 1.03 pour le coefficient de vitesse maximale associé à la valeur 13.30° pour l'angle-vilebrequin, ce qui correspond bien aux valeurs calculées théoriquement dans le paragraphe précédent :