Introduction aux phénomènes de propagation
et de déferlement de la houle


Nous présentons ici quelques unes des principales grandeurs et formules relatives à la propagation et au déferlement de la houle. Cette partie est tirée du travail de Monsieur R. Bonnefille dans son ouvrage : "Cours d'hydraulique maritime".

Résumé sur la théorie du déferlement :

Le déferlement survient lorsque la houle arrive près de la côte (phénomène de réfraction). En effet, lorsque la houle se rapproche du rivage, sa célérité ne dépend que de la profondeur locale et diminue avec cette dernière. La longueur d'onde de la houle, étant liée à la célérité diminue aussi avec la profondeur locale. Par conséquent, ces lignes de crêtes ont tendance à se resserrer près de la côte. Ainsi, la densité d'énergie par unité de surface augmente (par conservation de l'énergie), ce qui entraîne l'augmentation de la hauteur de la vague. La hauteur augmente jusqu'à une certaine limite. En effet, lorsque la hauteur atteint 0.78 fois la profondeur, la vague devient instable et déferle.

Les vagues sont des ondes de surface périodiques qui se propagent sans transporter de matière mais avec un transport d'énergie considérable. Par vent faible, il y a tout d'abord apparition de rides, qui sont essentiellement contrôlées par la tension superficielle et l'inertie. Lorsque le vent forcit, on passe progressivement des rides aux vagues, dont l'amplitude augmente avec la vitesse du vent. Le mouvement ondulatoire est alors essentiellement contrôlé par la gravité et l'inertie (ondes de gravité). Aux grandes ondulations, il y a superposition des ondulations de plus petites amplitudes et de plus faibles longueurs d'ondes. Lorsque le vent s'arrête et que la vague persiste, on parle alors de houle, pouvant être ramenée schématiquement à un profil sinusoïdal.

Le creux de la houle ne peut pas prendre une valeur trop élevée, les vagues ne sont plus stables lorsque leur cambrure atteint une valeur limite. Cette valeur critique peut-être atteinte soit par accroissement local du creux soit par réduction de la longueur d'onde par suite de la diminution de la profondeur. Alors la vague est partiellement ou totalement détruite : la houle déferle.

Lors de ce déferlement, l'énergie de la vague est en grande partie libérée, avec un fort degré de turbulence. Ce phénomène est visible au voisinage du rivage, mais également en pleine mer.

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Rappel de la Houle de Stoke


Fig. 1 : Forme de la houle


Notations utilisées:

  • T : période de la houle
  • L : longueur d'onde de la houle
  • d : profondeur par rapport à la hauteur moyenne de la houle
  • H : amplitude de la houle
  • : hauteur de la houle par rapport à l'axe 0x
  • : cambrure de la houle
  • Hypothèses utilisées:

    - le mouvement est plan (selon une verticale), périodique, et irrotationnel,
    - le fluide est considéré parfait, incompressible, et homogène,
    - on considère que la seule force qui agit est la pesanteur,
    - la pression est considérée comme étant constante à la surface,
    - le fond est imperméable,
    - les oscillations de la houle sont faibles devant la profondeur,
    - la cambrure des vagues est faible.

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    La théorie de Stokes met en évidence les résultats suivants (dans le cas d'une onde monochromatique de période T) :

    Expression du potentiel de vitesse :


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    Théorie du déferlement:

    Lorsque la profondeur diminue, la seule caractéristique de la houle qui semble rester constante est la période. Pour étudier comment varient les autres paramètres, considérons le cas simple d'un fond en forme de plan incliné de pente faible, sur lequel la houle se propage dans la direction de la plus grande pente du fond. Supposons de plus que la plage n'induit pas de houle réfléchie, ce qui est vrai pour les pentes de moins de 10%.

    Si Co et Lo désignent la célérité et la longueur d'onde au large, c'est à dire pour une grande profondeur :

         et 

    On obtient pour la profondeur d :

        et 

    Le premier résultat est que les crêtes de houle sont parallèles aux lignes de niveau. Cette observation suggère de faire l'hypothèse de la conservation de l'énergie transmise entre 2 plans parallèles à la direction de propagation des ondes, car si ce n'était pas le cas, il y aurait accumulation d'énergie entre deux plans parallèles aux crêtes. Il est donc possible d'écrire :

      (Ho désignant la hauteur au large)

    On obtient alors la relation suivante :

    Le rapport H/Ho est une fonction explicite de d/L et donc implicite de d/Lo, car : 
    Sa dérivée s'annule pour .

    Donc, pour d<0.15 Lo, le creux relatif diminue de Ho à 0.91 Ho, ensuite il augmente (cf. figure).
    De ce fait, la cambrure varie ; rapportée à celle du large  :

    Sa dérivée s'annule pour , donc le minimum est inappréciable.

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    Avec le graphique suivant, on peut visualiser l'évolution de la cambrure, de l'amplitude H, et de la longueur d'onde en fonction de la profondeur. On retrouve graphiquement les résultats précédents.


    Fig. 3 : Résultats théoriques des équations de la houle

    Bien que dans la réalité le phénomène soit plus complexe, du fait du frottement sur le fond et de la non-linéarité de la houle, il est intéressant d'étudier la variation des vitesses orbitales en restant dans le cadre des hypothèses simples. Pour une faible profondeur, les valeurs des composantes uo et wo de la vitesse s'écrivent sous la forme :

    On remarque que la vitesse horizontale et la cambrure sont liées de la manière suivante :

    On peut donc en conclure que lorsque la cambrure augmente vers l'infini, il en est de même pour Uo.

    La cambrure augmentant au fur et à mesure de l'approche du rivage, la vitesse des particules se rapproche de la valeur de la célérité, jusqu'à l'atteindre : c'est la forme limite de la houle. Le déferlement commence alors, les particules d'eau s'écroulent sur le versant côté rivage.

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    Conclusion

    Grâce à ces observations, on peut expliquer le phénomène de déferlement. En effet, lorque la distance au fond diminue, la cambrure de la vague augmente. Les particules d'eau vont passer d'un mouvement circulaire en eau profonde, à un mouvement elliptique, pour tendre finalement vers un mouvement horizontal. Arrivé à la cambrure critique, la vitesse des particules d'eau va dépasser la célérité de la vague. Il y aura alors déferlement.

    Pour trouver la cambrure critique, différentes théories ont été développées. Les résultats sont les suivants (pour des houles progressives irrotationnelles):

  •         en eau profonde (Michell, 1893)
  •         (Miche, 1944)
  •         en eau peu profonde (Munk, 1949)
  • En profondeur très faible, où th 2Pi d/L peut etre confondu avec d/L : dc=1.14 Hc     (Miche)
    Selon la théorie de Munk, qui consiste à considérer chaque vague prête à déferler comme une onde solitaire de hauteur Hc, la hauteur de déferlement est la suivante : dc=1.28 Hc
     

    Différents types de déferlement sont observés. D'une part, le déferlement au large causé soit par une barre au niveau de laquelle le fond remonte brusquement, soit en hauts-fonds avec deux vagues se superposant, soit par le vent. D'autre part, le déferlement se produit lorsque la houle arrive sur la côte. Ce dernier peut être décomposé en trois types :