Equations régissant le profil des vitesses et le comportement des particules sédimentaires 

Profil des vitesses ___ Le cisaillement ___ Forces appliquées


le profil des vitesses

Intro:

Le mouvement des particules est évidemment en premier lieu fonction de la nature globale du mouvement: Celui-ci est une combinaison de l'agitation de la houle et d'un courant permanent. Ces deux mouvements de base suggèrent des dévellopement différents. Les calculs qui suivent sont généralement plus adaptés à un type de mouvement.

A titre d'exemple, superposer un courant permanent à un mouvement périodique n'équivaut pas à l'inverse!! Ceci est du à la non linéarité caractéristique des équations dans le milieu.

Profil type de vitesse:

Il s'agit ici de trouver le profil de vitesse dans le cas d'un mouvement périodique laminaire.

Soit la vitesse périodique, pour un mouvement d'amplitude A au dessus du fond:

Comme le cisaillement peut s'exprimer de la manière suivante: ( Pour un modèle turbulent, on ferait intervenir la viscosité turbulente, ou d'Eddy, approchée par différents modèles ):

L'équation de conservation de quantité de mouvement (*) devient:

Si on appelle D= Ulim - U(z), le déficit en vitesse à une profondeur donnée, on a grâce à (*)

Or, la solution est bornée, donc An=0 pour tout n, et de plus on identifie la somme restante grâce à l'expression U(o,t) = Ulim-D(o,t) = 0.

Finallement, le profil obtenu est le suivant:

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Le cisaillement t(z,t):

Comme vu précédemmentla la couche limite a une épaisseur d, allant de quelques millimètres à quelque centimètres. Cette épaisseur d évolue bien évidemment en réalité le long du fond, en fonction de la forme de celui-ci.

L’étude théorique est réalisée à partir d’un mouvement purement oscillatoire. Bien sûr, le mouvement réellement crée par les vagues est complexe, mais cette étude simplifiée permet déjà des résultats cohérents.

Tout d’abord, une grandeur capitale est le cisaillement sur le fond, noté t (o,t) . En effet celui-ci représente une partie importante des efforts subis par les particules, et donc agit sur leur arrachement et leur comportement. Couramment, on observe que si le mouvement est laminaire et harmonique, t est égalemment harmonique, et en avance de phase de 45°. ( Dans le cas turbulent, c’est plus compliqué.)

Pour le cisaillement à une hauteur z, Les équations de Navier-Stokes donnent

D'où:

Des expériences ayant montré que l’apport de la turbulence au cisaillement sont négligeables ici, on obtient en module :

 

Le coefficient de frottement fw :

® Définition de fw :

Ce coefficient semi-empirique intervient dans l’étude du cisaillement.

Il est défini en amplitude par Jonsson , avec la relation :

Une autre définition est donnée par kajiura, respectant la variation temporelle :

Cette définition permet de tenir compte du déphasage de t par rapport à u en prenant pour C1 une valeur complexe.

® Expression de fw :

Jonsson a établi par analyse dimensionnelle que :

 

 

 On a alors diverses expressions explicites de cette fonction , parmi lesquelles

Pour un fond non rugeux, fw=fw (Re)

Pour un fond rugeux, fw=fw (r/a)

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Les forces appliqueés aux particules et leur mouvement:

Les forces :

En théorie, les forces appliquées à une particule fluides sont diverses:

Nous allons voir qu'en pratique des simplifications importantes sont adoptée afin de pouvoir étudier le problème clef du déplacement des particules.

Le mouvement :

Outre les problèmes fondamentaux de définition ( Quand il y a-t-il mouvement du fond, qu'est-ce que le fond ?) , il existe des moyens simples de caractériser sa propention à bouger.

- Le nombre de "mobilité":

Il tient compte du rapport entre la force de traînée et la pesanteur:

Ce nombre représent donc la force déséquilibrante sur les particules du fond.

Le paramètre de shields:

En 1936, Shileds établit un paramètre analogue en considérant au numérateur le cisaillement sur le fond ( divisé par la masse volumique, il est homogène à une vitesse au carré

Dans le cas d'un cisaillement sur le fond variable ( mouvement periodique) , le numérateur est pris égal à l'amplitude du cisaillement, et donc

Paramètre de Shields critique:

C'est par définition la valeur du paramètre de shield au delà duquel le mouvement est amorcé.

Cette valeur dépend des caractéristiques du fond et du fluide. Pour un fond sableux et de l'eau, il convient de le prendre égal à 0.05.

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