Notes de cours sur la houle et les marées

Introduction

Cette partie est constituée de notes de cours prises lors des cours d'hydrodynamique marine dispensés par Olivier THUAL dans le cadre de l'option Science de l'eau et environnement. Elle ne prétend pas être exhaustive sur les phénomènes liés à la houle,  mais simplement donner une vision générale de phénomènes qui ont une influence capitale pour le transport des sédiments marins.

I - La houle

La houle peut être considérer comme une sinusoïde :

1. Relation de dispersion

Relation de dispersion :

Pour une houle de longueur d’onde L et de période T, la déformation de la surface libre peut s’écrire :

ou encore :

 

La relation de dispersion pour une telle onde se propageant dans un milieu de profondeur d est :

 

 

Vitesse de phase :

La vitesse de phase est définie par 

 

Comportement en milieu peu profond :

Lorsque L >> d, i.e.

et

On constate que la vitesse est indépendante du nombre d'onde k, et donc que toutes les ondes se déplacent à la même vitesse quelle que soit leur longueur d'onde. Par contre, cette vitesse varie en fonction de la profondeur.

 

Comportement en milieu profond :

Lorsque L << d, i.e.

et

La vitesse dépend alors du nombre d'onde k : il s'agit alors d'ondes dispersives, les ondes ayant la plus petite longueur d'onde se déplaçant à la vitesse la plus faible.

 

Démonstration de la relation de dispersion :

Cette démonstration est basée sur les équations d'Euler en écoulement incompressible et irrotationnel, équations qui résultent d'une simplification des équations de Navier-Stokes sous les hypothèses suivantes :

· fluide incompressible (on néglige les ondes sonores)

· fluide inviscide

· écoulement irrotationnel

 

Alors on a les équations :

 

Conditions aux limites :

Sur le fond :

En surface :

Expression de la condition en surface :

D'où

ce qui implique

D'autre part

 

L'écoulement étant supposé irrotationnel, il s'agit d'un écoulement potentiel et on a :

Les équations d'Euler deviennent alors

Donc

soit

ou encore

 

En conclusion, on doit donc résoudre :

en surface (z = h)

dans le volume de fluide 

sur le fond (z = -d)

condition de Neumann

En supposant que les mouvements étudiés sont petits, on peut linéariser ce problème.

On suppose H<<L et H<<d

Après linéarisation, on obtient

D'où :

Les solutions sont de la forme :

Par conséquent on doit résoudre

Les solutions de la première équation sont de la forme

sous réserve que

De plus, 

 

entraîne :

soit

 

Revenons à la vitesse:

On a donc

Par conséquent les particules de fluide décrivent des ellipses.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L'expression de h est alors :

 

Cette expression de la houle est appelée houle d'Airy :

avec

La pression associée est :

La houle d'Airy est une modélisation de la houle valable pour certaines valeurs de d/L et de H/gT2 (cf. référence (2))

 

 

 

2. Énergie de la houle

L'équation de conservation de l'énergie s'écrit :

soit

On a :

Pour une houle de hauteur H sur une surface Ll, le volume d'eau déplacée par la houle est

L'énergie récupérable est alors

et le flux d'énergie est

 

 

 

3. Réfraction

réfraction : variation de longueur d'onde L

On a toujours

 

En eaux profondes

Si T=10s, alors L=160m

Supposons une houle de période T0 et de longueur d'onde L0. Lorsqu'elle arrive près de la plage, sa longueur d'onde augmente, de même que son amplitude, jusqu'au déferlement éventuel.

Shoaling : variation d'amplitude de la houle 

L'énergie que possède la houle en eaux profondes est conservée lorsque celle-ci arrive en eaux peu profondes, ce qui s'exprime par : 

En régime permanent:

Ks: coefficient de shoaling

 

Méthodes de détermination des lignes de crêtes :

Il existe plusieurs méthodes pour déterminer la trajectoire des lignes de crêtes de la houle :

 - méthode de Huyghens

 - méthode Snell

 - méthode des caractéristiques

 

Principe des 3 méthodes:

Onde 1D:

De plus

Méthode de Huyghens:

Comme en optique, on se place en plusieurs points d'une ligne de crête, on trace des cercles de rayons L en ces points (L étant fonction de d), et la nouvelle ligne de crêtes est l'enveloppe des cercles tracés.

Au large L0=cT0

Près du bord L=c(k,d)T

On se base sur le fait que la période reste la même partout, et on essaie de retrouver k à partir de la relation de dispersion.

 

Méthode Snell:

Il s'agit de la méthode précédent appliquée au cas particulier d'une côte rectiligne : d(x,y)=d(x)

On peut à nouveau faire une analogie avec l'optique

b est l' angle que fait k avec la normale à la côte

 

Méthode des caractéristiques:

Le gradient de cette équation, appelée équation de Eikonale, donne

 

 

4. Diffraction

A l'entrée des ports ou sur des bancs de sable, il peut y avoir diffraction de la houle. Ce phénomène présente, comme le phénomène de réfraction de la houle, des analogies avec l'optique. Sur un plan théorique, il s'agit de résoudre les mêmes équations que précédemment, avec des conditions aux limites particulières sur le port : sur les jetées, la vitesse normale est nulle (condition de Neumann) et sur les enrochements, le déplacement est nul (condition de Dirichlet), et il peut y avoir des condition mixtes.

 

5. Réfraction et diffraction

La combinaison des deux phénomènes se traduit par l'équation de Berkhoff :

C'est l'équation qui est utilisée dans le code ARTÉMIS par exemple, et qui sert à des simulations de houle dans les ports.

 

II - Les marées

Les marées, d'une période de 12 heures, sont un phénomène résultant de l'attraction de la Lune ainsi que des autres astres - essentiellement le soleil - sur la Terre.

Pourquoi une durée de 12 heures entre deux marées hautes ?

La Terre subit une rotation solide - contrairement à la lune - aussi la force d'inertie due à la rotation de la Terre est la même sur tout le globe. Ainsi, deux points diamétralement opposés sur la surface de la Terre subissent la marée en même temps.

Quelle est l'influence du soleil ?

On considère que son effet correspond à 30% de celui de la Lune, et est donc loin d'être négligeable. Lorsque Terre, Lune et Soleil sont alignés, les marées sont dites de "vives-eaux" et lorsque l'axe Terre Lune est perpendiculaire à l'axe Terre Soleil, on parle de "mortes-eaux".

Action des marées sur les sédiments marins :

Les marées jouent un rôle capital en ce qui concerne le transport de sédiments marins, notamment en ce qui concerne la quantité de matériaux transportés, du fait de l'alternance des marées hautes et basses, et des différences de période de la marée en fonction de l'endroit concerné.