Étude en bassin de la tenue à la mer d’un bâtiment de surface

1 Introduction

Les projets d’envergure impliquant des bâtiments en surface ou parfois même des sous-marins, nécessitent souvent la réalisation d’études d’avant projet sur des modèles à échelle réduite. En effet, afin d’assurer la sécurité des d’opérations et/ou d’optimiser la conception des structures, il est essentiel voir primordial d’évaluer le comportement de la structure face aux sollicitations du milieu, telles que le vent, les séismes, les houles etc.

Ainsi, on aura principalement recours aux expériences d’hydrodynamique navale par similitude, telles que les essais dits à la mer, en tunnel hydrodynamique ou en bassin. Le présent ouvrage vise à cerner de façon succincte, les principaux paramètres qui régissent les expérimentations en bassin de traction.

2 Description des paramètres de la houle

Les principaux paramètres permettant de caractériser une houle sont la longueur d’onde, la hauteur ainsi que la profondeur d’eau du milieu dans lequel elle se propage. La connaissance de ces seuls paramètres permet d’estimer, à priori, l’ampleur des forces mises à contribution dans l’écoulement du fluide.

Ce n’est, toutefois, que suite à une rigoureuse étude basée sur les principes physiques fondamentaux de conservation de la quantité de mouvement et de la masse (continuité) que l’on pourra définir d'autres paramètres de la houle.

On pourra ainsi quantifier les forces mises en cause et évaluer leur impact dans l’environnement immédiat

2.1 Principaux paramètres

Les principaux paramètres d’une houle propagative harmonique et régulière (houle d’Airy) sont schématiquement présentés à la figure suivante.

  

2.2 Autres paramètres de la houle

Période (T)

La période de la vague est le temps que met la houle pour se déplacer d’une distance équivalente à sa longueur d’onde l (ou L), et se calcule selon l’équation suivante :

Célérité (C)

La période et la longueur d’onde sont reliées entre elles par la célérité C (ou la vitesse de propagation de la houle) selon l’équation suivante :

Vitesse angulaire (ou pulsation w )

Milieu fini :

La vitesse angulaire de la houle en profondeur finie (d< 0,025l ) est évaluée selon l’équation suivante :

où g est la gravité et k est le nombre d’onde (k=2p /l )

Milieu infini :

Cette dernière équation est simplifiée dans les conditions de profondeur infinie (d> 0,42l ), puisque la tanh (infini) ® 1.

La vitesse angulaire peut donc être évaluée selon :

Lorsque l’on considère un groupement de houles, on peut évaluer la relation de dispersion par w2; .

3 Paramètres de similitude

La reproduction sur modèle à échelle réduite d’un phénomène hydrodynamique, tout comme en hydraulique ou en aérodynamique, requiert l’égalité de certains nombres adimentionnels caractéristiques entre le cas réel et le modèle.

Il est donc nécessaire d’appliquer un traitement adimentionnel aux équations locales du mouvement du fluide afin de définir les paramètres de similitudes.

3.1 Équations de Navier-Stokes pour grandeurs physiques dimensionnelles

En posant les hypothèses d’un fluide incompressible et irrotationnel, les équations de Navier-Stokes (notation selon la convention d’Einstein), décrivant la dynamique d’un fluide, s’écrivent de la façon suivante:

  (1)

Que l’on peut également exprimer sous la forme vectorielle :

  (1 bis)

Les termes de l’équation (1) représentent bien la relation entre l’inertie (termes de gauche) et les forces de pression, les tensions visqueuses et l’effort de gravité.

3.2 Équation de Navier-Stokes pour grandeurs adimensionnelles

Le traitement adimentionnel suivant des équations de Navier-Stokes (éqn 1) permettra de les rendre indépendantes du système d'unités choisi.

Ainsi :

I Longueurs :

 

II Temps

t =L/Vq (Vq est la vitesse de l’écoulement à l’infini amont)

III Vitesses

 

IV Pression

IV Masse volumique r

La masse volumique r est référée à elle-même puisqu’elle est supposée constante (fluide incompressible).

Ainsi, l’équation (1) peut se réécrire sous la forme suivante :

En multipliant les termes par L/Vq2 cette équation devient :

où l’on reconnaît les nombres caractéristiques de Reynolds (Re) et de Froude (Fr), soit :

 

On peut ainsi écrire l’équation du mouvement d'un fluide incompressible et visqueux de Navier-Stokes en y introduisant les paramètres de similitudes que sont les nombres de Reynolds et de Froude.

L’équation (1) aura donc la forme suivante :

  (2)

3.3 Nombres de Froude et de Reynolds

L’équation (2) démontre qu’il faut respecter les nombres de Reynolds et de Froude lors de la construction de modèles à échelle réduite. La solution de cette équation doit être unique pour une simulation adéquate entre deux écoulements, à conditions limites adimentionnées identiques.

3.3.1 Conditions limites

Soit deux corps C1 et C2 géométriquement semblables (de longueurs caractéristiques L1 et L2) soumis à deux écoulements E1 et E2 de vitesses V1 et V2 à l’infini amont. On admettra également que ces corps C1 et C2 sont respectivement soumis aux périodes d’oscillations T1 et T2.

Si on admet l’égalité des nombres de Fr et de Re, les écoulements E1 et E2 sont régits par la même équation adimentionelle du mouvement du fluide, soit:

Il doit exister une solution unique à cette équation qui devra satisfaire aux conditions limites adimentionnées des deux écoulements E1et E2.

Ainsi, considérons le phénomène de pilonnement du corps C1 dans un fluide de vitesse infini amont V1. Définissons l’amplitude maximale du corps C1 par a(C1)max et sa pulsation de mouvement w (C1). L'amplitude du corps est donnée par la relation suivante :

Cette équation donne donc le mouvement du centre de gravité.

La vitesse verticale uz (C) d’un point quelconque du corps C1 s’exprime par sa dérivé:

Sa dérivé seconde donne son accélération.

Puisqu’il s’agit d’un écoulement visqueux, la condition d’adhérence entre la vitesse du fluide et celle du corps à la paroi permet d’écrire :

et donc

d’où :

En remplaçant w par son expression en fonction de la période T on peut écrire:

Cette équation peut-être réécrite pour les corps C1 et C2 (ou leur écoulement E1 et E2) respectivement, sous la forme suivante :

En considérant que l’amplitude de la houle correspond à un déplacement vertical (a = D z), les deux corps ont une élongation identique qui s'écrit:

  (4)

On constate que les élongations doivent être proportionnelles aux dimensions caractéristiques du corps.

Par le même raisonnement on remarque que les périodes T doivent être, quant à elles, proportionnelles aux temps caractéristiques, soit :

En considérant l’expression de la vitesse VC1 à partir de la relation d’égalité des nombres de Froude, et en introduisant la fréquence f =1/T, on peut exprimer cette dernière équation sous la forme pratique suivante :

  (5)

Les équations (4) et (5) démontrent qu’en plus de l’égalité des nombres de Froude et de Reynolds, la similitude entre deux écoulements animés d’un mouvement périodique, sera conforme si les élongations réduites (adimentionnées) sont égales et les fréquences sont inversément proportionnelles à la racine carré de la dimension caractéristique de l’objet expérimenté.

 

3.3.2 Respect simultané des nombres de Reynolds et de Froude

Soit R le facteur d’échelle entre le cas réel (r) et le modèle (m) :

D’une part, l’égalité des nombres de Reynolds entre le modèle et le cas réel implique :

De cette équation, on constate que la vitesse du modèle devrait être supérieure à celle du cas réel, de l’ordre de R.

D’autre part, l’égalité des nombres de Froude implique que la vitesse du modèle doit être inférieure à celle du cas réel de l’ordre de , puisque:

On en déduit donc qu’il est impossible de respecter ces deux critères simultanément. En hydrodynamique navale, on privilégie le respect de l’égalité du nombre de Froude tout en appliquant certaines règles pour tenir compte du non-respect de l’égalité des nombres de Reynolds.

 

 3.4 Techniques d’essais en hydrodynamique navale

 Il existe différentes techniques de modélisation en hydrodynamique navale, telles que :

 4 Bassin de traction

 Les moyens d’essais en hydrodynamique sont donc divers. Un des outils les plus fréquemment utilisés est sans doute le bassin d’essais rectiligne ou bassin de traction (towing tank) (voir figure ci-après).

Il s’agit en quelques sortes de canaux de dimensions caractéristiques de l’ordre de 50 à 300 m en longueur (L), de 5 à 15 m en largeur (l) et de 2 à 10 m en profondeur (h). Ces bassins permettent d’étudier :

 

 

 

La figure ci-dessous présente une vue longitudinale d’un bassin de traction. On y distingue :

 

 

  

La houle peut être générée par plusieurs dispositifs. Les plus fréquemment utilisés sont :

5 Application

5.1 Description

On veut étudier dans un bassin de traction carré la tenue à la mer d’un navire réel soumis à une houle quart arrière (et quart avant lorsqu’il se déplace en sens inverse) propagative harmonique régulière (houle d’Airy), selon les conditions suivantes :

Pour réaliser cette étude, on doit :

Les grandeurs concernant le modèle réel portent l’indice r et les grandeurs concernant la maquette l’indice m.

 5.2 Paramètres en conditions réelles

=30 nœuds = 30 * 1.852 = 55.56 km/h

= 0.636

On suppose que l’on est en profondeur infinie. La relation de dispersion est alors

ou encore . Pour l =60m on a 6.2 s

 5.3 Paramètres maquette

3 m

 

Le respect des nombres de Froude implique :

Ainsi on trouve la vitesse à imposer à la maquette :3.451 m/s

En milieu de profondeur infinie on a . Or sachant que , on trouve Tm de l'ordre de 1,4 s et l =3.060 m.

On peut également exprimer la vitesse de propagation de la houle (vitesse de phase) :

2.186 m/s

 5.3.1 Cas de la houle quart arrière (A® B)

 

La composante de la vitesse du bateau suivant est

La vitesse relative du bateau par rapport à la houle est

D’où la période des oscillations 12,05 s

Et le mouvement du centre de gravité ,

Considérant :

Ici,

0.04 m/s2

5.3.2 Cas de la houle quart avant (B® A)

0.6615s

donc

et 13.29 m/s2

5.4 Analyse finale du cas réel

Soit :

Cas de la houle quart arrière

53.89 s

Cas de la houle quart avant

2.95 s

On peut également montrer que les accélérations maximales sur le bateau réel sont identiques aux accélérations maximales sur la maquette :

D’où =1

5.5 Tableau récapitulatif des résultats de l’application

  L (m) V (m/s) Froude T houle

(s)

V phase

(m/s)

T oscill A® B

(s)

T oscill B® A

(s)

Accélération max de G A® B

(m/ s2)

Accélération max de G B® A

(m/s2)

Réel 60 55.56 0.636 6.2 2.186 12.05 0.6615 0.04 13.29
Maquette 3 3.451 0.636 1.4 9.677 53.89 2.95 0.04 13.29

 

 

6 Bibliographie

MASURE B. Notes de cours d'hydrodynamique navale, ESEM ;

DEAN G., DALRYMPLE A., Water wave mechanics for engineers and scientists