Principes de fonctionnement.e


 

boule.gif (3849 octets) La Marée.

 puce1.gif (370 octets) Définition.

La marée est la variation du niveau de la mer due à l'action gravitationnelle de la Lune et du Soleil, astres dont les mouvements peuvent être calculés avec précision sur des périodes de plusieurs centaines, voire de plusieurs milliers d'années. L'un des buts principaux de l'étude des marées est la recherche des relations existant entre le mouvement des astres et la réponse des océans à l'action de ces forces gravitationnelles afin d'établir des formules de prédiction. A ces mouvements d'allure régulière se superposent des variations de hauteur d'eau d'origine météorologique, appelées surcotes-décotes, dont l'étude relève essentiellement de méthodes statistiques.

Les surcotes-décotes, différences entre les hauteurs d'eau observées et la marée prédite, ne font pas partie de la marée à proprement parler. Il est cependant légitime de s'y intéresser car leur étude permet d'obtenir des résultats importants dans de nombreux domaines (navigation, hydrographie, aménagements portuaires, études climatiques).

 

 puce1.gif (370 octets) Les effets de la Marée (théorie statique).

puce2.gif (226 octets) Le système Terre-Lune.

puce3.gif (235 octets) Les potentiels.

Force génératrice des marées G est la constante de gravitation, MT la masse de la Terre, ML la masse de la Lune, D la distance Terre-Lune

Les expressions des potentiels de gravitation qui s'appliquent à un point M de la Terre sont:

i) Le potentiel dû à la lune

ii) Le potentiel dû à la Terre

Il convient d'ajouter le potentiel d'entraînement dû à l'attraction de la Lune sur le référentiel de la Terre qui l'accélère et le rend donc non galiléen:

La somme des potentiels est Vtot = + (1)

Légende du schéma

Fd : la force d'attraction gravitationnelle exercée par l'astre, proportionnellement à sa masse et en raison inverse du carré de sa distance

Fr : la force d'attraction gravitationnelle exercée par l'astre, proportionnellement à sa masse et en raison inverse du carré de sa distance, au centre de la terre.

Fi : la force centrifuge identique en tout point de la Terre, due au mouvement de la Terre sur son orbite autour du centre de gravité du système Terre Astre

puce3.gif (235 octets) Déformations terrestres.

puce9.gif (58 octets) Hypothèses.

L'hypothèse la plus simple consiste à considérer que la surface des mers est à tout instant en équilibre sous l'action des forces auxquelles elle est soumise.

On considère que Vtot est une équipotentielle à la surface des mers. Une autre hypothèse simplifiant les calculs est de supposer que la Terre est sphérique et entièrement recouverte d'une couche d'eau liquide.

De plus nous considérerons que la Terre est immobile et que l'on ne prend pas en compte le mouvement des particules.

Nous avons aussi:

or r £ 6400 km et <D> » 360 000 km.

Nous pouvons donc effectuer un développement limité du terme r en

Alors

en ne conservant que les termes en au plus , et en utilisant (1) on obtient:

ou encore = cte' (2)

avec cte' = cte +

En l'absence d'astre perturbateur; la couche liquide entourant le globe serait en équilibre par rapport à ce dernier sous l'action de la seule pesanteur.

r = RT est la surface d'équilibre.

En présence de la Lune, il y a des déformations dues aux effets de marée, de hauteur notée z. Alors r = RT + z définit la surface libre; tantôt au-dessus, tantôt au-dessous de la surface d'équilibre (i.e. r = RT)

Or z est de l'ordre de quelques mètres et RT = 6400 Km d'où » e

On peut donc effectuer un développement limité de (2) au premier ordre en

Dans ces conditions r ² = R²T + 2 RTz et

On obtient (3)

avec A=cte' -

On a de plus avec MT = 81 ML , RT = 6400 Km et

D = 690 000 Km. Vu ces valeurs, on peut négliger

.

d'où

en fin z = B + C cos²q (4)

avec B = A (5) et C = (6)

Pour déterminer les constantes, nous écrivons que le volume de la couche liquide qui recouvre le globe est invariable ou encore que le volume compris entre la surface libre et la surface d'équilibre est nulle.

 

puce9.gif (58 octets) La forme des surfaces libres.

L'hypothèse vue précédemment implique:

d'où

on obtient: C = - 3B (7)

d'où en utilisant (5) et (6) :

d'après (4) et (7) ; z = B (1-3cos²q )

z = z0 (3cos²q -1) (8)

avec z0 = -B =

On a x²+y² = r ² = (z+RT)² = R²T + 2z RT

avec les mêmes approximations que pour (3).

On peut exprimer cosq =

en fin

On obtient finalement, l'équation de la forme de la surface libre:

i2.gif (2974 octets)

Marée statique

C'est une ellipse dont le grand axe est dirigé vers la lune; les déformations dues aux effets de marée sont symétriques par rapport aux axes de l'ellipse.

Les différences de hauteur avec la surface d'équilibre(surélévation et dépression) constituent ce qu'on appelle improprement "le bourrelet liquide".

Cette forme est due aux molécules d'eau qui se rendent vers la zone de la Terre qui est à l'opposé et face à l'astre. Il ne s'agit donc pas d'un soulèvement des masses d'eau.

Bien que se renflement soit de l'ordre du mètre cela correspond à une masse considérable d'eau.

Remarque sur l'influence du bourrelet liquide : On n'a pas tenu compte du potentiel du bourlet liquide. La présence de celui ci augmente d'environ 10% la hauteur de la marée statique.

puce2.gif (226 octets) Le système Terre-Lune-Soleil.

puce3.gif (235 octets) Stabilité du système.

Nous savons que d << D' de plus Mt = 6.1024 Kg << MS = 2.1030Kg

La configuration dans laquelle le Soleil risque le plus de "capter" la Lune est lorsque celle-ci est la plus proche ou encore sur l'axe Terre-Soleil et entre les deux.

.L'accélération différentielle produite par le perturbateur (Soleil) est

Le satellite est arraché au primaire (Terre) si cette accélération est supérieure à celle de gravitation de la Terre GMtd-2

Soit un '

avec D' = 1,49.1011m

La Lune serrait donc arrachée de son orbite par le Soleil si elle se trouvait au moins à 1 705 000 Km de la Terre, ce qui est bien supérieur au rayon maximum Terre-Lune de 406 000 Km.

puce3.gif (235 octets) Quadratures et syzygies.

On considère tout d'abord le système Terre-Soleil.

L'établissement du potentiel total ainsi que la forme de la surface libre se fait de la même manière que dans le cas Terre-Lune.

On obtient Vtot = +

Or r £ 6400 Km et D' = 1.49.1011m, on peut donc effectuer un développement limité du terme r' en r /D'

On obtient un analogue à la relation (3):

or MT = 6.1024kg, MS = 2.1030kg et RT = 6400km.

Le rapport = est faible puisque r T = 5.5 kg/m3 et r S » 1kg/m3 et RS = 700 000km.

On peut donc négliger le premier terme face au second.

En faisant les mêmes hypothèses que dans le cas du système Terre-Lune, on montre que la surface libre est une ellipsoïde dont le demi-grand axe est dirigé vers le soleil.

A l'aide des expressions z on calcule la hauteur maximale des marées produites par la Lune puis par le Soleil sur la Terre:

zLune Terre = 0,35 m

zSoleil Terre = 0,16 m

On constate que l'influence du Soleil est moindre que celle de la Lune.

Pour étudier l'action conjuguée du Soleil et de la Lune sur la Terre, on considère la superposition des effets des systèmes Terre-Lune et Terre-Soleil.

Nous allons étudier deux types de configurations bien particulières :

puce9.gif (58 octets) Quadratures.

Quadratures Cette configuration n'est possible que dans deux cas; lorsque l'angle (STL)=-p /2 ou p /2. Les astres sont dans deux méridiens terrestres perpendiculaires.

Alors, les grands axes des deux ellipsoïdes sont perpendiculaires et donc les effets conjugués de la Lune et du Soleil se retranchent.

Ces situations correspondent du premier (p /2) et du dernier (p /2) quartier de Lune; on a alors de faibles marées dites marées de mortes eaux.

 

puce9.gif (58 octets) Syzygies.

Syzygies Là aussi deux seules configurations sont possibles:

(STL) = 0 ou p .

Les grands axes des ellipses sont alignés. Les effets s'ajoutent, on a de fortes marées dites marées de vives eaux (environ tous les 15 jours). On se trouve à une nouvelle Lune ((SLT)=0) où à la pleine Lune ((STL)=p ). Les trois astres n'étant pas nécessairement alignés mais dans le même plan méridien terrestre.

 

puce3.gif (235 octets) Conséquences.

La théorie statique considérant la Terre fixe, il faut recréer le mouvement apparent de la Lune et du Soleil dans le repère géocentrique.

Dans le repère héliocentrique, la Lune tourne en 27 jours ¾ autour de la Terre qui tourne sur elle-même en 24h.

La distance Terre-Lune est D et celle Terre-Soleil est D'. Celles-ci restent invariantes d'un repère à l'autre.

Dans ce repère géocentrique, le mouvement apparent du Soleil est donc de 24h et celui de la Lune de 24h50.

 

puce9.gif (58 octets) Marées semi-diurnes.

Supposons que l'astre soit situé dans le plan de l'équateur; la Terre faisant un tour sur elle-même en 24h; la marée solaire S2 aura une périodicité de 12h exactement. En effet, la forme de la surface libre étant une ellipse dont le grand axe est dirigé vers l'astre. Le point P, qui est initialement en P1 se trouvera 12h plus tard en P2, position où le renflement est exactement le même pour un observateur lié à la Terre. En P1 et P2, la marée est d'amplitude maximale et identique.

 

La marée S2 est alors semi-diurne, puisque sa période est égale à une demi-rotation terrestre.

La Lune ayant un mouvement apparent de 24h50.

La marée M2 due à la Lune a une périodicité de 12h25, elle est aussi semi-diurne.

puce9.gif (58 octets) Marée diurne.

Supposons que l'astre n'est pas dans le plan de l'équateur. Ainsi le grand axe de l'ellipsoïde fait un angle diffèrent de p /2 avec l'axe des pôles.

Donc les maximums de même amplitude des marées se produisent à des latitudes symétriques par rapport à l'équateur.

Un point P1 à une latitude L1 voit une marée de hauteur z1 au temps t0; 12h plus tard, toujours à L1 mais en P'1,il verra une marée de hauteur z'1 différente de z1.

Par contre, les minimums d'amplitudes des marées en deux points à la même latitude sont égaux.A la périodicité semi-diurne des marées se superpose une inégalité diurne sur les maximums de la marée.

On peut donc dire que les marées semi-diurnes ne disparaissent jamais alors que les marées à inégalité diurnes disparaissent lorsque l'astre est dans le plan de l'équateur.

La modulation des marées dues respectivement à la différence des périodes de rotation apparente de la Lune et du Soleil autour de la Terre engendre, par effet de battement, des périodes plus longues de l'ordre de 14 jours.

 

puce2.gif (226 octets) L'échec de la théorie statique.

Comme nous l'avons vu précédemment, la hauteur du niveau de la mer due à la Lune sera au maximum de 35cm, il peut s'y ajouter au maximum 16cm dus au Soleil; ce qui fait 51cm. Nous sommes loin des 15m constaté au mont St Michel.

De plus l'inégalité diurne devrait être nulle dans certaines régions équatoriales où elle est en fait très accentuée, et très forte sur les côtes de l'Europe à cause de leur latitude où elle est à peine sensible.

Enfin ont a constaté un retard variable entre la grande marée et la syzygie qui la produit (âge de la marée). Mais aussi un retard de la pleine mer par rapport au passage de la Lune au méridien (établissement du port).

L'hypothèse que nous avons faite, considérant que la surface des mers était à tout instant en équilibre sous l'action des forces qui la sollicitaient est inconciliable avec l'inertie des molécules liquide et la rapidité du mouvement de l'astre.

En dehors de cette hypothèse même, une des raisons du désaccord avec la réalité réside dans le fait que la théorie statique néglige l'existence des continents. De plus la surface de la Terre est loin d'être sans aspérités et parfaitement sphérique.

La théorie statique des marées peut être considérée tout au plus comme donnant l'allure générale du phénomène, mais elle est absolument insuffisante pour des applications pratiques, c'est-à-dire pour conduire à des prédictions acceptables de la marée.

 

 puce1.gif (370 octets) Les ondes de Marée (théorie dynamique).

puce2.gif (226 octets) Nécessité d'une théorie dynamique, hypothèses fondamentales.

L'échec de la théorie statique des marées, lorsque l'on compare à l'observation les déductions que l'on en tire, montre que l'hypothèse initiale, c'est à dire que la couche liquide prend à chaque instants la figure d'équilibre correspondant à la position de l'astre à cet instant, est inconciliable avec la rapidité du mouvement de l'astre.

Les particules liquides, sollicitées constamment vers une position d'équilibre, ont tendance à la dépasser et à accomplir des oscillations réglées par les lois de la dynamique. Le problème doit donc être abordé sous son aspect dynamique: la théorie correspondante doit tenir compte de l'état de mouvement des particules liquides et prendre en considération les forces d'inerties.

On montre en effet que les phénomènes de marée entretiennent dans les océans un phénomène ondulatoire dans lequel les particules décrivent des trajectoires sensiblement elliptiques situées dans un plan verticale et très allongé: ce déplacement verticale constitue la marée alors que le déplacement horizontale est le courant de marée.

L'existence de mouvement oscillatoire suffit à infirmer la théorie de l'équilibre.

Principe des oscillations forcées.

Sous l'influence d'une force perturbatrice de l'équilibre et si cette force est rigoureusement périodique, le mouvement de la mer est périodique et de même période que l'astre.

Principe de superposition des petits mouvements.

Selon ce principe "le mouvement total d'un système soumis à de très petites forces est la somme des mouvements partiels que chaque force lui imprime" (P.S.Laplace).

Il correspond à chacun d'eux une marée partielle de même période et la somme de ces mouvements représente la marée.

Une force périodique non seulement fait naître une oscillation de même période, mais encore engendre des oscillations supérieures dont les périodes sont des sous multiples de celle de l'oscillation fondamentale.

 

puce2.gif (226 octets) Théorie dynamique des marées.

La théorie dynamique de Laplace découle immédiatement des principes précédents.

Il est en effet possible de décomposer la forme z de la surface libre causée par un perturbateur sur la Terre en une série illimitée de termes rigoureusement périodiques dont les fréquences dépendent de la rotation terrestre et des caractéristiques du mouvement de l'astre.

La hauteur de l'eau serra obtenue en faisant la somme de tous ces termes dépendent des conditions hydrauliques, donc de la forme arbitraire des continents et des irrégularités de la profondeur des océans, c'est-à-dire du lieu géographique.

puce3.gif (235 octets) Les cas à deux corps.

La Lune se déplaçant autour de la Terre, pour étudier la variation de hauteur d'eau résultante de la force génératrice des marées représentée par l'ellipsoïde, on introduit l'angle horaire H de la Lune qui varie donc proportionnellement au temps.

Si l'on veut faire apparaître la rotation de la Terre sur elle-même, on écrit

H = (n t - G) - a avec n la vitesse angulaire de rotation de la Terre, t terme sidérale du méridien origine et a l'ascension droite de l'astre.

où d est la déclinaison de l'astre et l la latitude du point.

On a:

OM = RT.Ur(M) = RT [ sin l Uz + cos l Ur(m)]

OT = RT Ur(T) = RT [ sin d Uz + cos d Ur(T)]

soit q = l - d

q représente la différence de latitude entre la latitude de T et celle de M.

D'où

OM.OT = R²T.cos q = R²T[ sin l. sin d + cos l. cos d .Ur(m).Ur(T)]  = R²T[ sin l. sin d + cos l. cos d . cos H]

On obtient cos q = sin l. in d + cos l. cos d . cos H

Les variations de z étant très faible devant RT on considère que r est constant.

On peut donc écrire l'équivalent de (8) sous la forme:

avec MA la masse de l'astre et D la distance entre le centre de la Terre et de l'astre.

En injectant cos q on obtient:

(9)

Nous voyons donc apparaître trois termes de périodicité différente:

-un terme en cos2H semi-diurne.

 

Le temps est donné en heures.

H variant de 0 à 2p en 24h pour le soleil et 24h 50 pour la Lune, le terme en cos2H aura 2 maximums en une période de rotation de l'astre. Le coefficient de ce terme varie lentement avec le temps.

 

Comme d varie de 23° à -23° pour le Soleil et de 28° à -28° pour la Lune, cos²d ne diffèrent de l'unité que de 20% au plus. La modulation du coefficient par le mouvement de l'astre n'a donc pas une très grande amplitude.

-un terme en cosH diurne.

Le coefficient est également modulé par le mouvement de l'astre mais l'amplitude est beaucoup plus variable puisque sin2d peut varier en valeur absolue de 0 à 0,8. Ce terme s'annule lors des équinoxes mais aussi lorsque le point se trouve à l'équateur à cause du sin2d .

-un terme indépendant de l'angle horaire.

Il est dit à longue période comme sin d figure par son carré la période est de 14 jours pour le terme solaire et de 6 mois pour le terme solaire.

La somme des deux termes solaires sont de la forme:

Cette méthode calculatoire nous permet de retrouver les périodicités que nous avions aperçue par un raisonnement simple, notamment la périodicité semi-diurne et diurne. Nous avions remarqué que la première ne disparaissait jamais ce qui correspond au coefficient cos²l.cos²d du terme en cos2H de l'expression de z, alors que la seconde disparaissait quant l'astre est dans l'équateur où que le point y était, ce qui est mis en évidence par le coefficient sin²l.sin²d du terme en cosH.

 

 

puce3.gif (235 octets) Le cas Terre-Lune-Soleil.

L'analogie des graphes précèdent nous donnent pour une latitude et pour un mois civil la simulation précédente. (en supposant que la Lune et le Soleil partent initialement du même méridien). Le premier schéma étant la composante lunaire d'angle horaire H et le second solaire H', alors que le troisième est proportionnel à ce que sont les marrées dues au Soleil à la Lune.

Les actions conjuguées du Soleil et de la Lune sur La Terre provoquent donc une hauteur z exprimable sous la forme de six termes :

trois lunaires et trois solaires.

Les termes solaires étant analogues à la relation (9) en attribuant l'exposant ' pour les termes relatifs au soleil.

Cependant comme Laplace en a fait l'hypothèse, z est de même période que la force qui l'anime, c'est-à-dire la force génératrice des marées.

z représente la réponse à la force, il n'est pas en phase et n'a pas la même amplitude que celle-ci;

On peut donc écrire z sous la forme:

(10)

où P est le rapport de la parallaxe lunaire RT/D à sa valeur moyenne.

Les constantes de Laplace sont déterminées à partir d'un grand nombre d'observation de la hauteur z de l'eau à des instants connus t, toutes les heures par exemple, en un lieu donné.

A l'aide des relevés fait à Brest, Laplace à déterminé les constantes:

h0 = 2346 mm h1 = 108 mm h2 = 84 mm l = 48° m = 35°

h'0 = 782 mm h'1 = 36 mm h'2 = 28 mm l ' = 67° m ' =54°

On voit que ce qui signifie que la variation du niveau de l'eau du la Lune est trois fois plus importante que celle du Soleil.

Ce résultat est en accord avec la théorie statique où l'on obtient un rapport égal à .

Dans l'expression (9), h0 et h'0 représente des coefficients associés au terme semi-diurne alors que h1 et h'1 correspondent au terme diurne.

On a 22

Selon la théorie précédente, on a le rapport du terme semi-diurne au terme diurne égale à: car on regarde l'influence de la latitude du lieu d'observation.

Pour pouvoir comparer avec le résultat expérimentaux, il faut se placer à la latitude de la France, soit l » 45°, on trouve R = ½.

On observe une grande différence entre les deux formules, ce qui confirme la validité de celle de Laplace; qui est en accord avec le phénomène observé.

Ainsi, sur une grande partie du littoral français, la marée semi-diurne est considérablement renforcée alors que la marée diurne y conserve une amplitude très faible. La formule de Laplace y trouve alors un domaine privilégié d'application car elle fournit une bonne représentation de la marée semi-diurne.

 

 

 

boule.gif (3849 octets) Exploitation de l'usine: le simple et le double effet.

 

 puce1.gif (370 octets) Préambule.

Les marées qui animent mers et océans constituent une source d'énergie propre et inépuisable. Comme nous venons de le voir, il s'agit d'une énergie non soumise aux aléas climatiques, contrairement à l'énergie solaire ou éolienne. Chaque jour, les eaux montent, puis après un moment d'étale, descendent pour remonter encore et ainsi de suite. C'est cette variation du niveau de la mer qui est exploitée pour produire de l'énergie, en simple ou en double effet.

 

 puce1.gif (370 octets) Le simple effet.

L'estuaire est fermé par une digue capable de retenir un grand volume d'eau. Dans cette digue sont aménagées des vannes par lesquelles la marée montante remplit le bassin de retenue. Lorsque la marée a atteint son plus haut niveau, les vannes sont fermées. On attend ensuite que la mer ait suffisamment baissé de façon à avoir une certaine hauteur de chute entre le niveau du bassin et le niveau de la mer. La chute d'eau permettra de faire tourner une turbine entraînant un alternateur. Dans le cas du simple effet, la production d'électricité sera donc intermittente et suivra le rythme des marées et non le rythme des activités humaines. Sur les berges de l'estuaire de La Rance, on peut encore voir les vestiges d'anciens moulins à marées qui fonctionnaient selon ce principe.

 

 puce1.gif (370 octets) Le double effet.

 

On peut allonger le temps de marche de l'usine marémotrice en ajoutant un deuxième effet qui permet de produire de l'énergie lors de la phase de remplissage du bassin. Cela suppose de fermer les vannes à la basse mer de façon à isoler le bassin alors presque vide, puis de les ouvrir lorsque la marée est haute. Le double effet implique d'avoir des turbines et des alternateurs capables de fonctionner en tournant dans les deux sens. Ce qui caractérise l'usine marémotrice de la Rance, c'est surtout ses cycles d'exploitation déterminés avant tout par les marées mais également par la disponibilité prévisionnelle des groupes et des vannes et la prévision hebdomadaire de la valeur de l'énergie. Les groupes bulbes qui équipent la Rance ont été spécialement conçus pour fonctionner de cette manière.

 

 puce1.gif (370 octets) Les cycles de fonctionnement.

 

puce2.gif (226 octets) Pour des marées moyennes ou de mortes eaux, on utilise le cycle à simple effet. Dans ce cas il y a cinq transitions successives par marée :

t10.gif (40665 octets)  1: Ouverture des six vannes.

 Démarrage des groupes en orifice. La marée montante remplit l'estuaire, il n'y a pas de production d'énergie

 2: Fermeture des vannes.

 Couplage des groupes en pompe.

 L'énergie électrique prélevée sur le réseau permet une surélévation du niveau de l'estuaire.

 3: Arrêt des groupes.

 4: Démarrage des groupes en turbinage direct.

 L'énergie électrique est fournie au réseau, les mètres cubes d'eau pompés sous faible chute pendant la phase 2 sont cette fois turbinés sous une chute plus importante. Le gain en énergie est ainsi 2 fois supérieur à l'énergie absorbée lors du pompage.

 5: Arrêt des groupes.

 

puce2.gif (226 octets) Pour les fortes marées, actuellement pour des coefficients supérieurs à 105, l'exploitation de l'usine bascule sur un cycle à double effet avec 7 transitions par marée :

t06.gif (54354 octets)  1: Démarrage des groupes en turbinage inverse

Contrairement au cycle à simple effet, la variation rapide du niveau de la mer permet d'obtenir une chute suffisante pour coupler les groupes au réseau et produire de l'énergie au remplissage.

 2: Ouverture des vannes. Accélération du remplissage.

 3-4: Fermeture des vannes.

 Passage des groupes en orifice puis couplage en pompe.

 5: Arrêt des groupes.

 6: Démarrage des groupes en turbinage direct.

 7: Arrêt des groupes.

 

 

puce2.gif (226 octets) Bilan à l'utilisation.

En 1995-1996, le cycle à double effet a été utilisé pour 22 % des marées. Le cycle à simple effet est donc largement majoritaire. Des transitions dites "brisées" sont nécessaires entre le cycle à simple effet et le cycle à double effet. Ces transitions ne sont pas optimales du point de vue énergétique mais évitent les conséquences de variations brutales de niveau  sur l'écosystème.

 

 

 


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