Introduction

L'étude porte sur le mouvement ondulatoire régulier, dans le cas simple d'un mouvement plan et d'une onde progressive (c'est à dire qui se propage dans une seule direction donnée).

D'autre part le mouvement est considéré comme étant irrotationnel, ce qui revient à dire soit que le fluide (ici eau de mer) est parfait, soit que les gradients de vitesse sont nuls. Si l'on exclut les zones à proximité du fond et celles près de la surface libre, l'hypothèse des gradients de vitesse nuls se révèle acceptable dans le cadre de cette étude.

Un premier temps sera consacré à la mise en équation du problème et à la détermination des conditions aux limites. La théorie linéaire de Airy sera ensuite brièvement exposée. L'on se consacrera enfin à la théorie de Stokes, aux différents ordres d'approximation.

Les notations utilisées sont les suivantes:

H

amplitude

L

longueur d'onde

T

période

d

profondeur

fréquence angulaire

nombre d'onde


I - Etude d'une onde régulière et progressive

I - 1. Mise en équation

Le cas traité est celui d'un mouvement plan 2D. L'onde, cylindrique, se déplace dans une seule direction (onde progressive).

Bilan sur un volume élémentaire de fluide de dimension dx, dy, dz pendant un temps dt:

(Masse entrante en dt) - (Masse sortante en dt)

= (Variation de masse dans le volume dxdydz pendant dt)

Axe

Masse entrante en dt

Masse sortante en dt

x

y

z

(Masse entrante en dt) - (Masse sortante en dt) =

(Variation de masse dans le volume dxdydz pendant dt) =

En égalant ces deux relations on obtient donc:

Le fluide (eau de mer) est ici considéré comme incompressible (indépendant de t) et homogène (indépendant de x, y et z). Dans le cas 2D étudié, l'équation de continuité de la masse se réduit donc à:

La seule force de volume agissant ici est due au champs gravitationnel.

Axe

Accélération

Forces de volume

Forces de surface

x

0

y

0

z

Soit, pour un fluide parfait, incompressible, en mouvement plan dans le champs gravitationnel:

Le mouvement étant considéré comme irrotationnel, il existe une fonction scalaire telle que:

Les équations s'écrivent alors:

équation de continuité

équation de quantité de mouvement

Soit, en ce qui concerne l'équation de quantité de mouvement:

La fonction étant définie à une constante dépendant du temps près, il est possible de choisir cette dernière de façon à avoir:


I - 2. Conditions aux limites

La vitesse du fluide en z = est égale à la vitesse de la surface libre, soit:

d'où:

La pression p sur la surface libre est égale à la pression atmosphérique patm. En substituant dans l'équation du mouvement:

Cette relation n'est pas une condition à la limite indépendante puisqu'elle dérive des deux relations précédentes. Elle sera utile dans la détermination de la fonction dans la mesure où elle permet de découpler le calcul de de celui de . Elle est obtenue en dérivant la relation de condition dynamique par rapport au temps. On obtient alors l'expression de la dérivée de par rapport au temps que l'on insére dans la relation de condition cinématique.

Le fond étant imperméable, la composante verticale de la vitesse doit être nulle sur le fond:


I - 3. Tableau récapitulatif

Equation de continuité

Condition de

non pénétration au fond

Condition dynamique

en z =

Condition cinématique

en z =

Relation en z =

Retour I -


II - Houle d'Airy

Airy (1845) proposa une solution approchée au système décrit dans le paragraphe ci-dessus, en linéarisant l'équation de quantité de mouvement. Cette solution est valide dans l'hypothèse de linéarité, c'est à dire quand le terme (u2+w2) est négligeable devant les autres. Ceci est vrai dans les conditions suivantes:

C'est à dire que la solution de Airy est valable pour les ondes de petite amplitude.

Le domaine de définition de la fonction est le suivant:

Ne connaissant pas , les contours du domaine sont également inconnus. Dans l'hypothèse d'ondes de petite amplitude, il est possible de fixer le domaine de définition de en négligeant devant la profondeur d et la longueur d'onde L. est alors définie pour:

Le problème à résoudre devient ainsi:

Equation de continuité

Condition de non-pénétration au fond

Condition dynamique en z = 0:

surface libre ( p = patm )

Relation de Poisson


II - 1. Expression du potentiel

La solution est obtenue grâce à la méthode de séparation des variables. Plus précisement, étant données les oscillations attendues en x et t, la solution est supposée être de la forme:

Pour des raisons de commodité de calcul, est recherchée sous forme complexe, seule la partie réelle étant considérée par la suite. Soit:

En insérant cette expression de dans les équations ci-dessus on obtient:

Equation de continuité

Condition de non-pénétration au fond

Relation de Poisson

Les solutions possibles de l'équation de continuité sont de la forme:

En choisissant la deuxième forme (elles sont équivalentes), on obtient le système suivant:

Pour que ce système admette une solution, il faut que son déterminant soit nul. La relation qui en découle est appelée relation de dispersion: elle relie la longueur d'onde de la houle à la période et à la profondeur.

D'où l'expression de :


II - 2. Profil de l'onde

Pour obtenir l'expression de on se sert de la condition dynamique à la surface libre:

En général le profil de l'onde est noté comme suit:

Ce qui donne pour la fonction potentiel:

Dorénavant seules les notations conventionnelles ci-dessus seront employées.


II - 3. Célérité de l'onde

La célérité de l'onde (ou vitesse de phase) se calcule en considérant le déplacement d'une crête (ou d'un creux). En un temps dt, la crête se déplace de dx, mais la valeur de reste la même (maximale puisque l'on considère une crête). En réalité on peut faire le calcul en considérant n'importe quel point:

On a donc:

Compte tenu de la relation de dispersion:

On considère que l'on se trouve dans ce cas quand la relation suivante est vérifiée:

On a alors:

La vitesse de phase ne dépend plus de la profondeur d.

On a la relation générale:

Remarque:

Au fur et à mesure que l'effet du fond se fait sentir, la vitesse de phase diminue.

La simplification est la suivante:


II - 4. Expression de la vitesse

Soit, avec l'expression de obtenue ci-dessus:

Remarques:


II - 5. Trajectoire des particules

En coordonnées lagrangiennes, la relation vitesse/trajectoire est la suivante:

En introduisant les expressions de u et w trouvées ci-dessus, on obtient:

Remarques:

On peut alors faire les simplifications suivantes:

Les trajectoires sont donc des cercles de rayon R = A = B. R décroît exponentiellement avec z.

L'expression est celle générale:

Les trajectoires sont des ellipses dont la taille diminue avec z. Cependant cette diminution est plus faible que celle, exponentielle, constatée en eaux profondes.

Les simplifications sont les suivantes:

Les trajectoires sont des ellipses dont le demi-axe horizontal A est constant et le demi-axe vertical B diminue linéairement avec z. Sur le fond (z = - d) B s'annule, la trajectoire devient donc un segment de droite.

Retour II -


III - Théorie de Stokes (1847)

III - 1. Généralités

Les ondes considérées ici sont dites ondes à amplitude finie, caractérisées par:

Le mouvement étant supposé irrotationnel et plan, il est régi par les équations et conditions aux limites rappelées dans le tableau récapitulatif.

Contrairement à ce qu'a fait Airy, les termes non linéaires sont ici pris en compte. La méthode utilisée, appelée méthode des perturbations, consiste à développer les différentes variables en série de puissance dépendant d'un paramètre .

Un des éléments importants de cette méthode est le choix de qui doit être plus petit que 1 (nécessaire pour que la série converge). Stokes propose la cambrure de l'onde:

On a donc:

En introduisant les expressions de et , développés en fonction de , dans les équations, on obtient la solution globale, somme de toutes les solutions, chacune correspondant à une perturbation d'ordre donné. Il est alors possible de séparer les contributions de chaque perturbation. En effet, si l'on considère l'équation générale suivante:

La contribution à une perturbation du premier ordre vérifie l'équation:

A1 = B1

La contribution à une perturbation du deuxième ordre vérifie l'équation:

A2 = B2

Et ainsi de suite, cette procédure va servir par la suite à résoudre les équations à différents ordres de perturbations.


III - 2. Deuxième ordre d'approximation

La fonction doit vérifier les équations d'Euler dans le cas d'un fluide incompressible et mouvement irrotationnel, ainsi que les conditions aux limites. On a donc les relations suivantes obtenues grâce à la méthode des perturbations, exposée dans le paragraphe III - 1:

Terme du premier ordre:

Terme du deuxième ordre:

Equation de continuité

Condition de non-pénétration au fond

Condition dynamique en z = 0:

surface libre ( p = patm )

Relation en z = 0

est solution des équations d'Airy. Cela signifie qu'en s'arrêtant au premier ordre d'approximation, on se ramène au cas linéaire. Pour la détermination de , la méthode des perturbations nous donne:

En ce qui concerne le calcul proprement dit, la façon de procéder est la même que pour la détermination de .

La fonction potentiel est constituée de deux composantes harmoniques:

Le profil de l'onde est surélevé d'une distance l par rapport au niveau marin moyen.

Remarques:

L'effet des composantes u2 et w2 augmente rapidement quand d/L diminue.

Expression globale:

soit:

Remarques:


III - 3. Troisième ordre d'approximation

Les termes et sont ceux calculés dans les paragraphes précédents (premier et deuxième ordre). En ce qui concerne :

Equation de continuité

Condition de non pénétration au fond

Condition dynamique en z = 0

Relation en z = 0

Les variables C3 et C3* sont connues puisqu'elles ne dépendent que des fonctions et déjà calculées:

est la solution complète obtenue au deuxième ordre d'approximation.

Apparaît un terme harmonique de fréquence triple.

est le profil d'onde obtenu au deuxième ordre d'approximation.

Remarques:

où u2 et w2 sont les vitesses complètes obtenues au deuxième ordre d'approximation.

Les expressions sont apparemment les mêmes qu'au deuxième ordre d'approximation. Mais, en réalité, la célérité ayant changé, ainsi que la longueur d'onde L (en revanche la période T est constante), le déplacement horizontal et la vitesse de transport de masse changent également.


III - 4. Quatrième ordre d'approximation

Equation de continuité

Condition de non pénétration au fond

Condition dynamique en z = 0

Relation en z = 0

La méthode des perturbations au quatrième ordre d'approximation donne:

Retour III -


IV- Conclusion

Au fur et à mesure que l'on se rapproche de la rive, on passe du domaine de validité de la solution de Airy à celui de la solution de Stokes 2, Stokes 3, ... A très petite profondeur, commencent à se manifester d'autres types d'ondes (ondes cnoïdales...) qui ne sont pas décrites par la théorie de Stokes au quatrième ou cinquième ordre. En effet, au delà du quatrième ordre d'approximation, la théorie de Stokes perd son sens physique: intervient le déferlement.


Bibliographie

Bonnefille R., "Cours d'Hydraulique Maritime",Enseignement de la physique, Ed Masson, 1992

Dean G., A. Dalrymple, "Water Wave Mechanics for Engineers and Scientists", Advanced Series on Ocean Engineering - Volume 2, World Scientific, 1984

Open University Course Team, "Waves, Tides and Shammow Water Process", The Open University, 1989

Ridolfi L., "Corso di Idraulica Ambientale", Politecnico di Torino, 2000

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