1          Introduction

 

On s’intéresse à la force exercée par un jet d’eau sur une paroi. On étudiera l’influence de la forme de la paroi et de la vitesse de déplacement de celle-ci.

On fera dans tout ce qui suit les hypothèses suivantes sur l’écoulement :

Ø      Stationnaire (la roue tourne à vitesse constante).

Ø      Incompressible.

Ø      Effets de viscosité négligés.

Ø      Distribution de vitesse uniforme dans la section initiale du jet.

Ø      Fluide non pesant.

 

                                                                        

  X          A1

 

y                      Y                                            

                                   

                          x

                                                     S1                                                  a

 

              A0

                                                                         O

                                   S2

 

                                                                                                         S

                                                                                                        

 

        A2

Figure 1

 

On adopte les notations suivantes :

Ø      a, angle entre la plaque et l'axe initial de l'écoulement.

Ø      A0, section d’entrée du jet.

Ø      A1 et A2, sections du jet normales à la plaque.

Ø      S1 et S2, sections latérales du jet.

 

On considère un jet plan, évoluant à pression atmosphérique. Les sections seront donc définies par unité de largeur.

On prend pour domaine de contrôle la surface bleue de la figure 1.

 


2          Calcul des forces de pression exercées par le jet sur la plaque.

 

2.1            Distribution de pression.

 

On applique le théorème de quantité de mouvement sous sa forme différentielle en A0 (repère O,x,y) et sur A1 et A2 (repère O,X,Y).

Il s’écrit dans O,x,y :

 

Or on considère les lignes de courant parallèles donc p=pa dans A0, A1, et A2.

 

2.2            Vitesse dans les sections.

 

On utilise le théorème de Bernoulli. Le fluide étant non pesant, et les pressions dans les sections A0, A1, et A2 étant les mêmes, on a dans les sections A1 et A2 une vitesse de même module que dans A0 è V1=V2=V0.

 

2.3            Conservation de la masse.

 

La conservation de la masse donne : V0A0=V1 A1+V2 A2.

Et puisque V1=V2=V0, A0=A1+A2.

 

2.4            Théorème  d’Euler .

 

On fait le bilan des flux sur la surface ∑ = A1 U A2 U A0 U S1 U S2 U S

 

 

Les flux sur  S1 et S2 sont nuls car le vecteur vitesse est parallèle à la surface.

Le flux à travers la paroi S0 est nul

 

Concerant l’intégrale du deuxième terme, on la décompose en deux surfaces :

_l’une où la pression est connue ( pression atmosphérique)

_l’autre où on cherche la force de pression exercée (S0)

 

 

où la première intégrale du terme de gauche est nulle puisque :

 

Les forces exercées par la plaque sur le fluide s’écrivent :

2/    

La force sera perpendiculaire à la plaque.

 

Après projection des vecteurs normaux du premier terme de 1/ dans le repère  lié a la plaque, et après utilisation de 2/, on obtient :

A0 cos a-A1+A2 = 0

On peut observer qu’on obtient une force maximale pour a=π/2 ce qui paraît cohérent.

On voit déjà que lors de l’application au moulin va se poser le problème du nombre de pâle. En effet, la force exercée est maximale si la plaque est perpendiculaire au jet. Or ce ne peut être toujours le cas. Il va donc falloir adapter le nombre d’augets ou de pâle afin de toujours les utiliser avec un angle d’attaque pour lequel le rendement est correct.

2.5            Sections de sortie

 

En utilisant la relation A0=A1+A2.donnée par la conservation de la masse et la relation S0 cos a-S1+S2 = 0 donnée par le théorème d’Euler, on obtient :

A1=A0 cos²(a/2)

A2=A0 sin²(a/2)

 

On remarque qu’on obtient S1=S2 pour a=π/2.

 

Le problème traité en 3 dimensions nous donne les même résultats en ce qui concerne la force appliquée sur la plaque.

 

3          Détermination du point d’application de la force

 

On utilise le théorème des moments pour déterminer le point d’application de la force qui sera noté O’. On définira également la longueur h telle que h=OO’.

 

On décompose alors S en deux surfaces, dont l’une où la pression est la pression atmosphérique:

 

 

 

La formule de Green nous montre que le premier terme du membre de gauche est nul puisque le rotationnel de O’M est nul.

Pour calculer le flux de quantité de mouvement, on décompose ∑ = A1 U A2 U A0 U S1 U S2 U S, le flux étant nul sur les trois dernières. La vitesse est constante dans chacune des trois premières sections :

 

 

 

Le moment de la force est nul en son point d’application, ce qui nous donne :

 

 

En utilisant les relations entre surfaces du paragraphe « sections de sortie », on obtient :

h=(A0 /2)cotga

 

On connaît ainsi la position du point d’application de la force.