THEORIE

        La houle est un phénomène complexe et il existe aujourd'hui plusieurs modèles pour la représenter. On peut citer les modèles de Stokes au 1er, 2ème, 3ème et 4ème ordre, le modèle de houle elliptique et le modèle de Miche. Cependant; chaque modèle a un domaine de validité.

        Pour cette étude, le modèle devrait être valide en faible profondeur et à de fortes cambrures. Le graphique ci-dessous met en évidence les différents domaines de validité des théories de la houle.

        Il apparaît clairement que le modèle de houle elliptique est le plus approprié. Malheureusement, il est assez difficile à mettre en oeuvre, car il y a une intégrale elliptique complète du second ordre.

        Pour contourner ce problème, le modèle de houle utilisé sera celui de Stokes au 1er ordre. On suppose ici que la houle de Stokes et la houle elliptique sont suffisamment semblables pour que la houle de Stokes se déforme légèrement sans créer de perturbations.

        La houle irrotationnelle de Stokes se démontre de la façon suivante.

        On suppose le rotationnel nul. Il existe alors une fonction potentiel de vitesse tel que :

       

        L'équation de continuité s'écrit alors :

        Soit :

        Le potentiel est une fonction harmonique, qui doit être périodique dans l’espace et le temps avec w qui s’annule sur le fond pour z = -d. La solution est alors :

        L'équation de Bernouilli devient alors :

        A la surface, p = 0 et z = . En considérant un point au repos à l'infini, F(t) est une constante. En supposant ensuite que la cambrure de la houle petite, on obtient au premier ordre :

        Or pour z = :

        Pour que la surface libre soit isobare, le potentiel doit satisfaire :

        Donc pour petit devant d, on a :

        Cette équation permet d'exprimer la longueur d'onde de la houle en fonction de sa période.

        Pour décrire le mouvement, on exprime la cote de la surface libre :

         pour z = 0

        La surface libre est donc une sinusoïde d’amplitude H, qui se propage dans le sens des x croissant avec la célérité.

        Et les composantes de la vitesse sont alors :

        Ainsi avec l'expression de la cote de la surface libre et des composantes de la vitesse, il est possible d'exprimer facilement la houle de Stokes au 1er ordre.

        En ce qui concerne le déferlement, les connaissances se sont développement du fait du nombre d'étude sur les reefs artificiels.

        La houle déferle quand le creux de la houle atteint une valeur trop élevée, c'est-à-dire quand la cambrure de la houle atteint une valeur limite qui rend la vague instable. Cette valeur critique peut être atteinte soit par une réduction de la longueur d'onde, soit par un accroissement locale du creux, soit par la diminution de la profondeur. Ici, c'est la diminution de la profondeur qui doit entrainer le déferlement.

        Quand la profondeur diminue, seule la période semble rester constante. Pour étudier les autres paramètres, on considère le cas simple d'un fond incliné de pente faible pour éviter la réflexion.

        On observe tout d'abord que l'énergie se conserve entre deux plans parallèles à la direction de propagation des ondes. On observe aussi que la cambrure augmente à l'approche de la plage, la vitesse des particules se rapproche de la célérité jusqu'à l'atteindre. On a alors la forme limite de la houle et le déferlement commence alors : les particules d'eau s'écroulent sur le versant côté plage.

        Dans l'approximation d'une houle de Stokes, cette forme limite correspond à un point anguleux de 120° au sommet. En effet, dan sun repère animé à la même vitesse de translation que la célérité, la particule au sommet à une vitesse nulle. Or, l'équation de Bernouillli à la surface s'écrit :

        Comme en 0, on a z=0 et V=0, on a donc localement :

        La vitesse dérivant du potentiel harmonique, on obtient en coordonnées polaires :

        Pour que soit de la forme , il faut :

        Et pour que le long des tangentes en 0 au profil, il faut que :

        Soit :

        Cependant, il existe differents types de déferlement.

        Pour le surf, il faut un déferlement plongeant (plunging breaking). Pour caractériser le type de déferlement, il existe un nombre adimensionnel : le nombre d'Iribarren (ou Surf Similarity)

        Pour obtenir un déferlement plongeant, il faut que le nombre d'Iribarren soit compris entre 0,5 et 3,3. Ce paramètre, assez bien vérifié expérimentalement, peut permettre de confirmer ou non le type de déferlement observé lors de simulations.

Tristan Aubel

Nicolas Daget