TPLD CANAL SUPERSONIQUE

          ETUDE THEORIQUE 

 

 I.    Analogies : 2

Hypothèses : 3

1.    Grandeurs de base : 3

2.    Nombre de Mach et nombre de Froude : 4

II.    Théorème d’Hugoniot et grandeurs génératrices : 5

1.    Théorème d’Hugoniot : 5

2.    Grandeurs génératrices : 6

III.    Etude approfondie : 7

1.    détermination de Ac (section au col) 7

2    position du ressaut   8

 
 

Le but de cette étude est de faire l’analogie entre l’étude des écoulements compressibles supersoniques et les écoulements incompressibles en régime torrentiel. Nous nous plaçons donc dans un écoulement incompressible à surface libre dans un canal pourvu du même type de rétrécissement de section qu’une tuyère supersonique.

On peut remarquer des similitudes entre notre écoulement à surface libre et l’écoulement en tuyère supersonique : présence de ressaut au lieu d’un choc, le profil de hauteur d’eau est semblable au profil de pression dans la tuyère.

Les analogies « intuitives » que nous pouvons faire sont les suivantes :

·         Fluvial  ó Subsonique

·         Torrentiel ó Supersonique

·         Nombre de Mach :     ó   Nombre de Froude :
U : vitesse du fluide ; a : vitesse du son dans le fluide
g : accélération du champ de gravité ; h : hauteur d’eau

Nous allons donc tenter de démontrer théoriquement les analogies possibles entre ces deux écoulements.

 

      I.            Analogies :

 

Les études réalisées en tuyère supersonique sont basées sur les relations de conservation :

                     (1)

                 (2)

    (3)

ρ : masse volumique du fluide    A : section transversale de la tuyère       U : vitesse du fluide      
P : pression dans la tuyère        T : température du fluide                        C: chaleur massique

 

            En écoulement à surface libre, on se base sur les équations de Saint-Venant :

Conservation de la masse :

       (4)


Conservation de la quantité de mouvement :

  (5)

U : vitesse du fluide                   g : accélération du champ de gravité       α : inclinaison du fond
h : hauteur d’eau                       C: coefficient de frottement

Hypothèses :

·         L’écoulement est stationnaire :

·         L’inclinaison du canal est faible :  d’où

·         On néglige les frottements :

·         L’écoulement est bidimensionnel plan avec une invariance selon y :

Après simplification, les équations de Saint-Venant deviennent :

   (6)
 (7)

1.    Grandeurs de base :

 

On s’intéresse aux équations de quantité de masse (1) et (6) :

                          (1)

              (6)

On suppose que dans notre analogie :

 A ó A et U ó U

D’où on sort :

 

On poursuit notre étude en s’intéressant aux équations (2) et (7) :

           (2)
             (7)

On va faire l’analogie entre les termes :  et.

On a:.

On essaie avec : P ó .

On vérifie :   è ça fonctionne.

D’où : .

 

2.    Nombre de Mach et nombre de Froude :

 

         , avec :   d’où :

En faisant l’analogie entre nombre de Mach et nombre de Froude :

De plus, on a l’équation d’état du gaz parfait :

Et, d’après les analogies précédentes :   d’où   

On en déduit alors : .

On peut vérifier la relation d’isentropie :

La relation d’isentropie est donc vérifiée en écoulement à surface libre.

            On n’a pas d’analogue direct de la température en écoulement à surface libre mais on peut extraire de l’équation (3) l’analogie suivante :

 

D’où, d’après les analogies antérieures : .

            On en déduit l’analogie suivante :

            CpT et gh sont deux énergies que l’on pourra comparer par la suite.

   II.            Théorème d’Hugoniot et grandeurs génératrices :

 

            On cherche un équivalent du théorème d’Hugoniot applicable à notre écoulement à surface libre en l'absence de discontinuités.

1.    Théorème d’Hugoniot :

         Théorème d’Hugoniot en compressible :

 

 

Pour redémontrer ce théorème en écoulement à surface libre, on part des équations de Saint-Venant :

Equation de conservation de la masse :

 (1)

Equation de conservation de la quantité de mouvement :

   (2)

 

On fait la différentielle logarithmique de l’équation (1), et on obtient :

   (3)

            De plus :

(2)

En reportant dans (3), on obtient :

 

            On en déduit :    

2.    Grandeurs génératrices :

 

            On cherche à exprimer les grandeurs caractéristiques de notre écoulement en fonction des conditions limites, i.e. des grandeurs génératrices :

            L’équation de conservation de quantité de mouvement donne :

            On en déduit :

            D’où les relations suivantes :

    (1)

     (2)     

On fait le produit de (1) et (2). On obtient la relation suivante :

    (3)

Qui donne :

   (4)

Avec :  

En utilisant la conservation de la masse :

·      

·      

On en déduit l’équation reliant Fr à A suivante :

   (5)

On peut ainsi déterminer Fr à chaque section en résolvant l’équation (5) avec un solveur type Matlab.

 

III.            Etude approfondie :

 

1. Détermination de Ac (section au col)

            On cherche à calculer une section au col permettant d’observer tous les écoulements avec notre dispositif. Le paramètre que l’on contrôle est le débit de la pompe qui alimente le canal et la hauteur de la vanne amont, ce qui nous permet d’influer sur la hauteur d’eau à l’entrée du canal et le débit à l’entrée du canal. Il est donc nécessaire que la section au col permette d’obtenir Fr=1 au col pour toute la plage de vitesses que l’on peut utiliser dans notre canal.

            Ainsi, on cherche à relier Ac (section au col) aux conditions initiales : Q0 et h0.

On veut  Frc=1 au col.

La conservation de l’énergie nous donne l’équation suivante :

Or :

D’où :

Donc :

L’équation de conservation de la masse donne :

 

A partir de (3) et (4), on obtient :

 

On impose le débit à l’entrée, donc le terme   est constant.

On pose :

D’où :

On a donc directement relié la section au col aux conditions initiales.

 

2       Position du ressaut

Il est théoriquement possible de déterminer la position du ressaut dans la tuyère à partir des conditions amont (hamont, Framont) et aval (haval, Fraval) sur la hauteur d’eau et le nombre de Froude dans le canal.

A partir de ces données expérimentales on peut déterminer la hauteur d’eau et le nombre de Froude à droite et à gauche du ressaut que nous appellerons respectivement (hd, Frd) et (hg, Frg).

Ensuite les équations de saut et les équations de St venant nous permettent d’écrire :

Equation de conservation de la masse :

 

Equation de conservation de la quantité de mouvement :

 

D’après les équations de St Venant

Equation de continuité amont :

 

Equation de continuité aval :

 

On peut alors résoudre ce système d’équation sous Matlab (lsqnonlin)et déterminer hd, Frd, hg, Frg.

A partir de ces nombres de Froude et de l’équation    , il est alors possible de déterminer la largeur pour laquelle le Froude est obtenu et enfin par interpolation avec le profil de la tuyère, on peut déterminer la position où ce Froude est obtenu.