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Etude adimensionnelle

Afin de ne pas perdre de temps dès le début du projet sur le dimensionnement du système étudié, nous commençons par effectuer une étude adimensionnelle. Ainsi nous espérons pouvoir comparer les deux schémas numériques étudiés : le schéma centré et le schéma amont. Pour cette étude, nous fixons le nombre de Mach à 0,18 et le nombre de Reynolds à 20 000.
Tous les calculs de cette première étude ont été menés avec un même modèle de turbulence, le modèle k-ω baseline. Le calcul effectué avec le schéma centré diverge rapidement. Nous pensons que ce comportement est dû au maillage. En effet, le maillage utilisé n'est peut être pas assez raffiné en proche paroi pour une bonne convergence du schéma centré. Nous décidons donc de continuer notre étude avec un schéma upwind, qui semble mieux adapté au maillage utilisé. Cependant, lorsque nous effectuons des calculs avec le schéma amont et le modèle de turbulence k-ω , ceux-ci convergent mal.

Afin d'être sûr qu'il ne s'agissait pas d'un problème dû au choix du modèle de turbulence, nous lançons des calculs avec d'autres modèles : le modèle à deux équations k-ε Chien et le modèle à une équation Spalart-Allmaras.
Aucun de ces deux modèle ne
donne de résultats satisfaisants : le modèle Spalart-Allmaras diverge, et le modèle k-ε Chien converge très mal. En effet, le passage d'un pas de temps de la boucle externe au pas de temps suivant n'est pas dû à la convergence de la boucle interne, mais au fait que nous avons limité le nombre de pas de temps dans cette boucle.

Voyant la mauvaise convergence de nos résultats, nous décidons avec le support de nos tuteurs d'effectuer une analyse dimensionnelle du système. Il nous faut alors recommencer de nouveaux calculs, avec un nouveau maillage et des paramètres différents.


Etude dimensionnelle

Pour l'étude dimensionnelle, nous utilisons un autre maillage, fourni par T.Marcel, ainsi que de nouveaux paramètres. Le nombre de Mach est alors fixé à 0,0146 et le nombre de Reynolds à 333 243. Ces nombres adimensionnels sont fixés de sorte que la vitesse en entrée soit 5,015 m/s. Avec une telle configuation nous espérons obtenir une meilleure convergence des résultats, ainsi qu'une bonne représentation des instabilités.

Nous effectuons les premiers calculs avec les conditions limites détaillées dans la section précédente. Suite aux résultats obtenus avec l'étude adimentionnelle, nous concentrons notre étude sur le schéma upwind qui semble plus adapté. Nous effectuons un premier calcul avec un modèle de turbulence k-ω baseline. Nous remarquons que celui-ci converge mal et que ceci pourrait être dû à un bloc situé à la sortie du maillage. En effet, tous les calculs effectués dans ce bloc nécessitent le nombre maximal de pas de temps autorisés dans la boucle interne. Nous décidons alors de modifier les conditions en sortie du système, sans modifier les conditions en entrée.
Condition en sortie précédente : 230 dans le code NSMB.
Nouvelle condition en sortie : 131 dans le code NSMB.

Avec cette nouvelle condition en sortie du système, nous commençons par effectuer un calcul avec un schéma numérique amont et un modèle de turbulence k-ω baseline. Ce test nous donne des résultats satisfaisants à première vue : la convergence est plutôt bonne. Nous décidons alors d'élargir légèrement notre étude en faisant tourner le code avec d'autres modèles de turbulence.
Nous effectuons donc des calculs avec les modèles k-ω SST Menter, k-ω OES et le modèle k-ω baseline avec préconditionnement. Les calculs convergent bien, sauf le calcul avec préconditionnement. En effet, pour ce dernier, le passage d'un pas de temps à l'autre nécessite le nombre maximal autorisé d'itérations de la boucle interne. Nous lançons aussi un calcul avec les modèle de turbulence k-
ε Chien et Spalart-Allmaras. Ces calcul ne convergent pas et nous décidons de na pas les continuer.

Par ailleurs, nous décidons de lancer de nouveau des calculs avec le schéma numérique centré. Ainsi, nous effectuons un calcul avec le modèle k-ω baseline et le schéma centré et nous obtenons des résultats avec une bonne convergence.

Les calculs effectués au cours de cette étude sont résumés dans le tableau suivant :



Résultats des calculs k-ω Baseline, schéma upwind





La figure précédente permet de vérifier que l'hypothèse d'incompressibilité est relativement bien respectée. L'erreur relative est inférieure à 1%. On remarque également que les cylindres entraînent une zone de masse volumique supérieure en amont du système.



La figure précédente montre une disymétrisation de l'écoulement autour des cylindres, témoin d'un phénomène de battement mieux observé sur l'évolution temporelle des Cz. L'absence de survitesse au niveau de la rangée supérieure des cylindres laisse penser que la configuration ne respecte pas la condition de périodicité imposée aux parois supérieure et inférieure.
Par ailleurs on remarque qu'il y a bien des zones de recirculation entre les cylindres ainsi que des zones de survitesse au niveau des rangées centrales.




La figure précédente permet de vérifier que la condition d'entrée concernant le nombre de Mach est bien respectée. De plus nous pouvons constater que la contribution verticale de la vitesse est faible par rapport à celle de la vitesse u puisque le profil de M est très proche de celui de la vitesse longitudinale. Une nouvelle fois il est étonnant de constater que les sur-vitesses n'apparaissent pas au niveau de la rangée supérieure de cylindre.



Les lignes de courant présentées par la figure précédente permettent de mettre en lumière plusieurs points importants de notre calcul. On constate par exemple, que si la périodicité était convenablement traitée par le code NSMB, les lignes de courant proches des faces supérieure et inférieure du maillage devraient avoir la même allure que celles des allées inter-cylindres. Il est clair que dans notre cas certaines lignes de courant vont à la rencontre les unes des autres au niveau des cellules fictives, ce qui est théoriquement impossible.

On remarque par ailleurs la présence des points d'arrêts sur les quarts supérieurs gauches des cylindres et que l'écoulement est orienté de haut en bas très tôt dans le domaine. Ceci est surprenant compte-tenu du fait que l'écoulement est à l'origine uniforme et horizontal.
Ces éléments montrent qu'il y aura très certainement des problèmes importants en ce qui concerne les conditions limites, la périodicité et le maillage.

Résultats des calculs k-ω Baseline, schéma centré



La figure précédente, présente la formation de "vaguelettes" dans les valeurs de ρ, ce sont des erreurs numériques dues au schéma centré utilisé pour cette simulation. Nous retrouvons ces erreurs pour d'autres grandeurs de l'écoulement, non représentées dans ce rapport.
Par ailleurs, nous pouvons constater que l'hypothèse d'incompressibilité est bien respectée, avec une très faible erreur relative de la masse volumique.
D'autre part, cette figure met en évidence les points d'arrêt situés dans le quart supérieur gauche des cylindres.






Nous remarquons sur les deux figuresprécédentes que l'écoulement semble dévier vers le bas. Il est probable que ce comportement soit dû au fait que nous traçons les valeurs instantanées de la vitesse longitudinale et du nombre de Mach et il ne s'agirait donc pas d'un comportement général. Il reste toutefois surprenant de voir que les deux écoulements issus des espaces inter-cylindres se rejoignent dans la zone aval et ce dans la partie inférieure du domaine de calcul.

Comparaison des Cz pour les schémas étudiés

A partir des résultats présentés dans les deux sections précédentes, nous pouvons comparer l'évolution du coeffcient de portance Cz au cours du temps pour les schémas centré et amont. Dans les cas présentés, le Cz est calculé pour le cylindre situé au centre du système. C'est la variation de ce coeffcient qui entraîne le mouvement du cylindre transversalement à l'écoulement et induît sa rupture le cas échéant.

Nous pouvons voir sur la figure suivante qu'après une phase transitoire d'environ un dixième de seconde, un phénomène de battement se met en place par l'intermédiaire de la variation pseudo-périodique du Cz. Ces schémas présentent une amplitude du Cz d'environ 0,15 et une fréquence de 20Hz ce qui correspond à un Strouhal de 0,6.

Par ailleurs, nous voyons que le schéma amont a tendance à amortir les amplifications du Cz. En effet, ce schéma ajoute de la dissipation ce qui a pour effet d'amoindrir les amplitudes des variables calculées. Il serait donc préférable de continuer à travailler avec un schéma centré, cependant le maillage utilisé n'est pas adapté à ce schéma. En effet la plupart des calculs effectués avec le schéma numérique centré ne convergent pas de façon acceptable. Nous poursuivons donc notre étude avec le schéma numérique upwind.




Résultats des calculs k-ω SST Menter, schéma upwind




La figure ci-dessus montre qu'une nouvelle fois le confinement de notre configuration entraîne une augmentation de la masse volumique en amont des cylindres. Toutefois la présence des zones de couleur rouge sur les premiers cylindres des rangées 1 et 3, que l'on ne retrouve pas sur la rangée centrale, montre que les rangées de cylindres ne sont pas parfaitement équivalentes alors que la condition de périodicité théorique devrait nous assurer cette équivalence.







Les trois figures précédentes semblent bien confirmer que l'écoulement aval est globlament déscendant. Nous constatons de plus sur le graphe de w qu'il y a un comportement particulier de l'écoulement en amont des cylindres. En effet il ne semble pas normal d'obtenir des vitesses transversales de l'ordre de ±10m.s−1 à proximité des parois supérieure et inférieure alors qu'il n'y a pas ce genre de comportement pour les espaces inter-tubes.



La figure ci-dessus nous permet d'une part de constater que, bien qu'il n'y ait aucun doute sur le fait que les tubes des faisceaux se brisent en raison d'une oscillation transverse, les amplitudes des Cx sont bien plus importantes que celles des Cz pour les calculs que nous avons menés. De plus nous constatons bien que du point de vue des oscillations du coefficient de traînée les calculs sont menés bien au-delà de la phase transitoire.



La figure précédente est un zoom sur les 12 premiers cylindres de la vitesse transverse. Il apparaît clairement sur cette figure que la condition de périodicité n'est pas respectée. Un zoom encore plus important montre que même au niveau de la première maille il n'y a pas d'égalité entre les valeurs de la cellule la plus haute et la plus basse du domaine de calcul. On peut donc exclure la possibilité d'une contamination rapide de l'écoulement sur les zones proches des limites périodiques. Ce problème de périodicité peut expliquer les erreurs constatées pour ce qui concerne l'absence de sur-vitesse au niveau des parois des cylindres des rangées 1 et 3. Il se pourrait également que ces problèmes de périodicité puisse expliquer le fait que l'écoulement présente un aspect descendant ou ascendant fortement prononcé.

Résultats des calculs k-ω OES, schéma upwind



On peut remarquer, sur la figure ci-dessus, que les valeurs de la densité volumique présentent une structure cohérente en amont des cylindres. Cette structure semble être un détachement de la partie inférieure du dernier cylindre de la rangée centrale. Le modèle κ−ω /OES est le seul modèle qui ait donné ce genre de résultat. L'effet de confinement est toujours bien marqué en amont des cylindres et l'hypothèse d'incompressibilité semble toujours bien respectée puisque les variations relatives sont toujours inférieures à 1%. En revanche les points d'arrêt, clairement présents avec les précédents modèles sur tous les cylindres, ne le sont plus après la deuxième colonne de cylindres.



La figure précédente confirme la présence de structures cohérentes en aval des cylindres. La répartition des valeurs de u dans le domaine de calcul avec le modèle κ − ω/OES semble indiquer la présence de battements au niveau de la zone aval. La figure présente de plus des sur-vitesses au-dessus des cylindres de la rangée et au-dessous des cylindres de la rangée 3. Ce résultat n'a été obtenu qu'avec ce modèle et laisse donc penser que ce modèle soit le plus adapté pour l'étude de notre cas.
La figure suivante semble amener aux mêmes conclusions.



Comparaison des Cz pour les modèles de turbulence étudiés

La figure suivante compare les Cz calculés sur le cylindre central du système, pour les dif-
férents modèles de turbulence disponibles.




On remarque que le modèle κ−ω /OES atténue moins les amplitudes du Cz que les autres modèles et semble donc mieux adapté pour représenter les amplifications des modes. Les valeurs de Cz obtenues présentes des battements pendant la période transitoire dont la fréquence est environ 2 à 3 fois supérieure à celle des battements observés pendant la phase établie. Il serait intéressant de chercher l'origine physique ou numérique de ces battements afin de bien comprendre pourquoi ce modèle est le seul à les présenter.