Modélisation des transferts thermiques aux parois dans un lit fluidisé de fluoration de l'Uranium


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Bernard Fabien

Françoso Luis Artur

Vallé Thomas

Calculs préliminaires

 

Mise en équations :

Modèle 1D

Les résultats de l’an dernier on démontré qu’il était nécessaire de développer un modèle proche paroi afin de pouvoir faire intervenir dans les simulations les effets dus aux transferts thermiques la convection en proche paroi. En effet une couche limite thermique en proche  se développer en proche paroi et donc un important transfert à lieu à cet endroit. Le problème est que cette couche limite est de l’ordre de grandeur d’une particule. Il n’est donc pas possible de capter les effets de la convection dans notre simulation NEPTUNE_CFD étant donné la taille des mailles qu’il serait nécessaire d’utiliser.
Afin de pouvoir modéliser les transferts convectifs entre le gaz et la paroi il a donc été nécessaire de développer un modèle 1D proche paroi. Ce modèle 1D nous a permit de pouvoir calculer les conditions limites que nous avons rentré dans NEPTUNE_CFD au niveau de la dernière maille. Cette méthode nous permet donc d’inclure les effets de la convection du gaz au travers des conditions limites.

Equations de base

Tout d’abord nous avons modélisé l’équation des transferts de chaleur :


Hypothèses

Nous considérons les hypothèses suivantes pour simplifier le problème et ainsi pouvoir développer un modèle à une dimension simple :

  • Régime Stationnaire
  • Les transferts radiatifs de la particule sont modélisés par l’approximation de Rosseland
  • Les grandeurs thermodynamiques sont constantes

Approximation de Rosseland

Pour modéliser les transferts radiatifs, nous avons choisi d'utiliser l'approximation de Rosseland. C'est une méthode qui permet d'appréhender le transfert radiatif comme de la diffusion. L'expression du flux radiatif se réduit alors à l'expression d'un flux diffusif, c'est à dire proportionnel au gradient de température. Sa mise en place est donc très simple et ne nécessite pas la résolution d'une équation supplémentaire, ce qui est avantageux au niveau du temps de calcul. Cependant, elle n'est applicable que dans des cas bien précis. Les hypothèses à satisfaire sont les suivantes :

  • les phénomènes sont stationnaires du point de vue des photons. Dans notre cas, cette condition est satisfaite, car les dimensions de notre système sont de l'ordre du mètre et les photons se déplacent à la vitesse de la lumière ;
  • le milieu est optiquement épais, c'est à dire que la distance de libre parcours moyen des photons est très grande devant l'échelle de longueur de variation des propriétés physiques du milieu (ici, les variations de température) ;
  • la luminance des particules se réduit à la somme de deux termes (hypothèse dite P1), dont l'un de ces termes est la luminance du corps noir à la température locale (L°=σT4/π), σ étant la constante de Stefan-Boltzmann (5,67.10-8 W.m-2.K-4). Le second terme traduit l'anisotropie de la diffusion des rayons lumineux par la particule sphérique.

Si ces hypothèses sont satisfaites, on trouve une loi équivalente à la loi de Fourrier pour le flux radiatif :

où λR(T) dépend des paramètres optiques du milieu (des particules) et de la température. Nous avons trouvé dans la littérature l'expression suivante pour la conductivité radiative :

Equations simplifiées

Les transferts de chaleur sont les suivants :

  • Les particules échange de la chaleur par radiation vers le gaz et la paroi.
  • Le gaz échange de la chaleur par convection avec la paroi.

Avec toutes ces hypothèses, nous pouvons écrire les équations suivantes :


Conditions aux limites

Les conditions aux limites sont les suivantes pour simuler l’expérience de Yamada :

  • A la paroi :
    • Pour le gaz :
    • Pour les particules :
  • A la dernière maille :
    • Pour le gaz :
    • Pour les particules :

Equations de la température

Nous avons résolu cette équation de façon analytique, avec les conditions aux limites précédentes pour obtenir les équations suivantes :


Avec les valeurs suivantes calculées à partir du programme matlab (voir annexes) :

  • K1=K1’=0
  • K2=5,06 x10-23
  • K2’=-1,18 x10-28
  • K3=27,04
  • K4=473,14

 

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Modèle 1D :

A partir du logiciel MATLAB, nous avons mené une étude pour exploiter ce modèle 1D pour calculer les flux de transferts thermiques de la particule et du gaz ainsi que les coefficients de transferts thermiques. Nous avons utilisé les différentes conditions limites précédentes.

Profil de température

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Figure 6 : Profils de température des particules


Le graphique représentant les profils de température des particules nous permet de visualiser la couche limite thermique du gaz. Cette couche limite thermique est de l’ordre de 2 .10-5 mètres (du même ordre que la taille des particules). Le maillage qui permettrait de capter les effets de cette couche limite thermique contiendrait un nombre trop important de mailles, la taille des mailles serait de l’ordre 10-6 mètres. Il est aussi intéressant de remarquer que l’augmentation de la température des particules à la paroi est minime (0,01°C).

Profil de flux de transfert de chaleur

Q.jpg
Figure 7 : Flux de transferts de chaleur des particules


A partir de l’équation du transfert de chaleur, notre analyse nous permet d’interpréter ce flux thermique comme le flux radiatif des particules vers le gaz. Dans la zone de la couche limite, le flux thermique représente le flux de chaleur convectif vers le mur. Dans le cas de nos simulations numériques avec un maillage dont la taille des mailles est de l’ordre du millimètre on perd l’information du flux convectif dans la région proche paroi. Pour éviter d’affiner le maillage jusqu’au micromètre, nous avons capturé les transferts  convectifs à l’aide des conditions limites comme nous le verrons dans le paragraphe

Coefficients de transfert de chaleur

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Figure 8 : Coefficients de transferts de chaleur des particules


La figure des coefficients des transferts thermiques nous permet de visualiser les mêmes phénomènes que précédement. On a utilisé le coefficient de transfert thermique du gaz pour trouvé une condition de dirichlet sur la température de la particule qui représentera donc le flux convectif proche paroi. On remarque aussi que le coefficient de transfert thermique totale est constant. On a donc bien conservation du flux thermique.


On définit tout d’abord un température de référence du mélange gaz particule.

 

A partir de cette température on peut donc calculer le coefficient de transfert thermique du mélange gaz particules

A partir de cette valeur nous pouvons comparer notre modèle avec celui de YAMADA.

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Comparaison des résultats

Avec notre programme matlab, nous obtenons les résultats suivants pour les coefficients de transfert thermiques :


Figure 9 : Coefficients de transferts thermiques calculés


Ces valeurs sont très proches de celles trouvées par Yamada et son équipe :


Figure 10 : Coefficients de transfert thermiques trouvés par Yamada


Les graphes suivants sont un zoom des valeurs trouvées, pour remarquer l’influence du rayonnement sur le coefficient de transfert thermique :


 
Figure 11 : Coefficient d'échange pour l'alumine        Figure 12 : Coefficient d'échanges pour le zircon

 
Figure 13 : Coefficient d'échange pour FeO        Figure 14 : Coefficient d'échanges pour FeO


Remarque : dans son expérience, Yamada trouve un coefficient de transfert thermiques de l’ordre de 6 000 W/(m²K) pour d’oxyde de fer avec un rayon de 90 μm, alors qu’avec notre modèle t le même diamètre, nous trouvons des valeurs de l’ordre de 2 660 W/(m²K). De plus, lorsque nous effectuons le même calcul mais avec un diamètre de particules de 45 μm, nous trouvons le même ordre de grandeur. Comme nos valeurs sont les mêmes pour les autres types de particules, nous pouvons nous demander si Mr Yamada n’a pas fait une erreur en confondant rayon et diamètre.


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BEI E&P 2009 - ENSEEIHT - Hydraulique et Mécanique des Fluides