La méthode VOF est une méthode qui a été introduite par Hirt & Coll. en 1981 qui s'utilise pour la simulation d'écoulements entre plusieurs phases non miscibles.

Il s'agit d'une méthode Eulérienne à 1 fluide, et elle est particulièrement adaptée dans le cas d'écoulements à interfaces fortement déformées, puisqu'elle permet de suivre la position de l'interface dans un maillage fixe.

 

Idée fondatrice

L'idée fondatrice de la méthode VOF est d'utiliser une fonction discrète qui représente la fraction volumique d'un des fluides dans chaque volume de contrôle. Cette fonction taux de présence, notée ak, varie donc entre 0 et 1 pour la phase k considérée. Si elle vaut 0 ou 1, le volume ne contient qu'un seul des deux fluides. Si sa valeur est comprise entre ces deux bornes, le volume contient un mélange diphasique, et donc l'interface y est présente.


Exemple : taux de présence en fluide bleu dans les volumes de contrôle

 

Equation sur le taux de présence

Afin de suivre l'interface dans son mouvement, la fonction taux de présence ak est advectée par le champ de vitesse local, selon l'équation d'advection classique :

Si le problème étudié ne comporte que deux phases, il suffira de calculer une seule fois le champ de cette fonction ak afin de repérer chacune des deux phases dans tout l'espace : on calculera par exemple le champ a2 puis on déterminera a1  sous la contrainte a1 + a2 = 1 . 

Ainsi, la méthode VOF est naturellement conservative, ce qui en fait un atout majeur.

 

Propriétés physiques du fluide dans un volume de contrôle

Pour un système à plusieurs fluides, on écrit naturellement la masse volumique du mélange en pondérant les masses volumiques de chacune des phases par leurs taux de présence :

Pour la viscosité du mélange, en utilisant aussi les taux de présence ak  comme coefficients, on écrit :

 

Equation de conservation de la quantité de mouvement

Une seule équation de bilan de quantité de mouvement est écrite pour tout le domaine, et le champ de vitesse qui est calculé est ensuite "partagé" entre les deux phases.

L'équation de Navier-Stokes incompressible s'écrit (en régime laminaire) :

Il est important de tenir compte, dans un problème diphasique, de la tension de surface entre les fluides et des effets d'adhérence à la paroi (à travers l'angle de contact au niveau d'une ligne triple).

Tension interfaciale :

La tension interfaciale est due aux forces cohésives qui existent entre molécules voisines d'une phase condensée, et tend à minimiser l'aire de l'interface entre ces molécules et celles d'une autre phase. Ainsi, elle s'oppose à la déformation de l'interface. Cette force est à l'origine des phénomènes capillaires, qui commencent à être très importants à partir de l'échelle millimétrique, et omniprésents à échelle submillimétrique. De cette façon, à travers une interface, la différence de pression qui règne – appelée pression capillaire – peut s’exprimer à l’aide de la tension interfaciale s par :

\begin{displaymath}p_2 - p_1 = \sigma \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right)
\end{displaymath}

où R1 et R2 sont les rayons de courbure des deux surfaces de part et d’autre de l’interface.

 

Angle de contact :

L'angle de contact est une mesure de l'aptitude d'un liquide à s'étaler sur une surface par mouillabilité. Cette adhésion du liquide à la paroi est due à des forces d'attraction entre les molécules du liquide et la paroi.

Angle de contact au niveau d'une ligne triple

Prise en compte dans le modèle VOF :

Ainsi, le terme source FSF dans l'équation de quantité de mouvement s'écrit en fonction de la tension de surface s :

n est la normale à l'interface et k la courbure, qu'on définit par : 

En cas d'adhérence à la paroi, la notion d'angle de contact intervient en tant que condition à la limite en paroi : il est utilisé pour ajuster la normale à la surface dans les cellules proches de la paroi : on calcule cette normale à la surface à la cellule adjacente à la paroi par

 

Traitement numérique et interpolation près de l'interface sous Fluent

L’équation permettant de suivre l’interface dans son mouvement (équation d’advection sur le taux de présence) peut être traitée numériquement soit à l’aide d’un schéma temporel implicite, soit à l’aide d’un schéma temporel explicite. La qualité de la méthode VOF dépendra de la discrétisation de cette équation, mais aussi des méthodes de reconstruction d'interface, développées pour améliorer sa description.

Ces méthodes de reconstruction permettent de calculer les flux convectifs et diffusifs à travers les faces des volumes de contrôle.

La figure ci-dessous en présente un exemple, avec les méthodes de reconstruction "GeoReconstruct" et "donor-acceptor" de Fluent.

Illustration des techniques de reconstruction d'interface