Simulations numériques avec comsol

Les solutions analytiques sont seulement faciles à trouver lorsque l'on fait beaucoup d'hypothèses. Par exemple, on suppose que l'écoulement dans la nappe est quasi horizontal pour considérer que la pression est hydrostatique. Si l'on souhaite ajouter un pompage à notre étude de cas et pouvoir conserver cette hypothèse valable, on doit supposer donc que le puits est profond jusqu'au substratum imperméable et que le puits est crépiné sur toute la hauteur, ce qui n'est évidemment pas la réalité.

Grâce au logiciel Comsol, on va pouvoir simuler le cas d'un puits de profondeur non infinie. Ainsi on va pouvoir être capable de prendre en compte les écoulements verticaux dans la nappe d'eau douce en plus des écoulements horizontaux.


Par souci de temps de calcul et de simplification du problème on considére une bande de terre rectiligne de largeur 600 mètres avec un substrat imperméable situé à 30 mètres de profondeur. A
insi on peut traiter notre problème par un modèle 2D symétrique. On a fait le choix de ne pas étudier le rabattement de la nappe dû au pompage, on a de plus considéré une surface de la nappe d'eau d'eau parfaitement plane. La profondeur du puits dans notre simulation est de 5 mètres, ce qui correspond à peu près à la profondeur des puits sur Mar Lodj.

 

But de la simulation

Le but de la modélisation sous Comsol est de simuler la pollution de l'eau du puits au cours du temps par l'eau salée comme cela se produit sur l'île de Mar Lodj. On fera varier le débit du puits ainsi que sa distance par rapport au bord mer, afin de mieux comprendre l'influence des paramètres que sont le débit et la profondeur de la nappe sous le puits. On sera aussi capable de vérifier la cohérence de nos différentes simulations numériques.

 

Présentation des équations

Pour réaliser cette simulation, nous avons couplé une équation de Darcy avec une équation de transport de mélange. Dans les équations S représente la concentration en sel (en g/L) de l'eau.

 

  • Equation de Darcy

On peut appliquer l'équation de Darcy car l'on a écoulement lent (Re < 100, sinon écart à la linéarité de la loi de Darcy) en milieu saturé.

Valeurs des paramètres

  • εo : porosité du milieu essentiellement sableux ε=0,25
  • K: conductivité hydraulique du massif (pour évaluer K, nous avons choisi d'utiliser la formule de Kozeny-Karman (2), avec une porosité estimée à 25 % (sols essentiellement sableux), une constante de Kozeny égale à 5 (empilages de grains isométriques avec des porosités n'excédant pas 0,8) et un diamètre moyen du milieu dmoyen=35 micromètres (3), on trouve la perméablilité k= 5 x 10-9 m²
  • évolution de la viscosité cinématique de l'eau en fonction de la concentration en sel, on rappelle que mu(S)=v(S) x ρ(S).
  • v(S)= ( 1 + 0.0008 x S ) x 10-6 m²/s (formule valable pour des concentrations inférieures à 5% (4))

  • évolution de la masse volumique en fonction de la concentration en sel, si on admet que la température ne joue pas de rôle
  • ρ(S)=1000 + 0.82 x S kg/m3 (au premier ordre (5))

     

  • Equation de transport


L'équation de transport comprend un terme de diffusion et aussi un terme de convection. Puisque la porosité est contante dans notre problème, on peut alors simplifier l'équation ce qui nous donne l'équation suivante.

On rappelle que D est une matrice carrée de dimension 2

Valeurs des paramètres

  • on néglige les variations du coefficient de diffusion dues aux gradients de concentration.
  • Do= 2 x 10-9 m²/s (coefficient de diffusion du sel)
  • to= 4 (tortuosité)
  • alphaL=0.1 m (alphaL est égale à l'ordre de grandeur des héterogénéites du milieu poreux)
  • alphaT= 0.01 m (géneralement on prend alphaT égale à 1/10 de alphaL (1))

Conditions limites et maillage

Pour chacune des simulations nous avons choisi des maillages quadratiques d'environ 80000 mailles. Il est nécessaire de faire dans un premier temps; la résolution de Darcy seule pour avoir des vitesses non nulles dans le domaine d'étude. Ensuite, on peut lancer la résolution couplée des deux équations. Sur le schéma ci dessous, les conditions limites sont données pour l'équation de transport et celle de Darcy. Par défaut s' il n'y a pas d'indication, alors la condition limite choisie est symétrie/isolation.

Schéma représentant les conditions limites de notre simulation

On observe qu'avant même le début de la simultion il y a un phénomène d'interpolation numérique des valeurs initiales au niveau de l'interface à cause certainement de grande taille du domaine. On a réalisé un zoom au niveau de la zone de pompage pour mieux expliquer les conditions limites permettant de simuler un pompage de 30m3/jour. Les vecteurs vitesses sont représentés avec des flèches rouges. Là où les vitesses ont été fixées positives (frontières vertes et noires sur le schéma ci-dessous), on a ausssi imposé une condition de flux convectif.

Schéma représentant un zoom sur les conditions limites au niveau du pompage

On rappelle que dans nos simulations on fait varier la distance entre le puits et la nappe. Le tableau suivant établi la corespondance entre distance du puits par rapport à la plage et la profondeur de la nappe phréatique à l'aplomb du puits.

 

 

Résultats

  • Exemple de résultats
Résultats de la simulation pour les paramètres suivants (Qpompage = 30m3/jour et D = 210m)
  • Critère de détermination du temps de pollution

Nous avons choisi arbitrairement de définir "le temps de pollution" comme le temps à partir duquel la concentration en sel atteint en au moins un point du fond du puits une concentration de 30 g de sel/L (voir le schéma ci dessous).

Schéma représentant notre critère arbitraire de la pollution d'un puits

 

  • Influence du débit

Evolution du temps de pollution par le sel en fonction du débit de pompage

Evidement, on observe que plus le débit de pompage est grand, plus l'eau du puits est contaminée rapidement. Si l'on considère seulement les trois points de droite du graphique, on a envie de dire que l'évolution est linéaire. Cette observation est rassurante et permet de vérifier la cohérence de nos résultats. En effet, dans le cas de fort débit de pompage l'advection est le principal responsable du transport de sel. Quant au point le plus à gauche sur le graphique, on peut penser que la diffusion n'est plus vraiment négligeable a cause des vitesses qui sont très faibles. On peut penser que la diffusion participe, pour ce faible débit de 7,5 m3/h en plus de l'advection au transport de sel dans la nappe phréatique. Ce point à l'écart des autres montre qu'il y a vraisemblablement des problèmes de simulation lorsque les vitesses impliquées sont trop faibles pour un domaine de simulation trop grand (le rapport entre l'ordre de grandeur des vitesses et celui de la largeur du domaine est d'environ 1012m).

  • Influence de la position du puits

Evolution du temps de pollution par le sel en fonction de la profondeur de la nappe

On a modélisé par une fonction polynôme l'évolution du temps de pollution du puits par le sel. On aurait pu cependant s'attendre à une relation linéaire entre ces deux paramètres. C'est certainement à cause de la forme de l'interface salée initial, en forme de parabole que l'on obtient des temps de pollution qui n'évoluent linéaire avec la profondeur de la nappe.

 

 

Conclusion

En conclusion, si le substrat imperméable est en effet "profond" en réalité (comme le cas que l'on a simulé) et grâce à nos résultats de simulation numériques on est capable d'estimer grossièrement le temps de pollution de puits (si on connait la distance du puits par rapport à la plage et son débit de pompage). Cependant, on remarquera que les résultats précédents sont donnés pour un cas très particulier et ne sont en aucun cas généralisable. Dans cette partie, on a seulement montrer qu'en connaissant un minimum de choses sur les valeurs des paramètres décrit précèdement, on est capable de faire des estimations et d'obtenir des résultats sur les temps de pollution du puits.

Dans tous les cas, cette simulation est bénéfique puisqu'elle nous a permis de bien comprendre l'influence des différents paramètres sur le temps de pollution d'un puits.

 

 

 

Bibliographie

1. Des éléments de l'analyse sont tirés du polycopié suivant (M.Quintard, Transfert en milieu poreux, 2007)
HTRA cours de 3ème année option SEE/MFN/Master H2SE

2. Formule de Kozeny-Karman (J.C.Charpentier, Techniques de l'ingénieur, 2003)

3. Rapport de l'institut des facultés des sciences et techniques de
l'université Cheikh Anta Diop (Jean Henri Sene, Evaluation du potentiel
agro-écologique de l'estuaire du Siné-Saloum, 2005)

4. Site internet isentropics, consulté le 05/03/2009
http://mshades.free.fr/

5. Mc Cutcheon et al. 1993