Prévision des crues

Le programme Matlab

A partir de la base de données fournie, on peut réaliser une étude des crues annuelle. Pour cela, nous avons utilisé la colonne des temps (années) ainsi que la colonne des débits maximums pour chaque année (en m3/s). On utilise donc un nouveau fichier de données à deux colonnes et 104 lignes (2005-1902), qui va être analysé sous Matlab. Le programme utlisé est une adaptation du programme de Mr Rachid Ababou.
Pour étudier les crues annuelles, on aura le choix entre l'étude des débits Q et de leur logarithme lnQ (10 000 x lnQ en pratique). L'utilisateur peut donc choisir deux fichiers d'entrée différents, pour lesquels il faudra enter les paramètres suivants :


Fichier de Données

Largeur des bâtonnets d'histogramme : Δx

Q (« Donnees_Q »)

1000

LnQ (« Donnees_10000lnQ »)

250

Remarque : le choix de la valeur des bâtonnets d'histogramme est très important, car il correspond à déterminer la résolution de l'estimation. Il faut que Δx soit suffisamment grand pour éviter les « bruits », et pas trop grand afin de prévenir un excès de lissage (introduction d'un biais..). Pour estimer grossièrement la valeur de Δx, il faut respecter l'inégalité suivante :



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Obtention des moments

Le programme d'analyse statistique permet dans un premier temps d'obtenir les moments suivants :

 


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Densité de probabilité et fonction de répartition empirique

 

Méthode des histogramme : On détermine la densité de probabilité et la fonction de répartition à partir de cette méthode. On considère donc la variable aléatoire « crue annuelle » Q, à valeur dans IR+. Pour construire la loi de probabilité de la variable aléatoire Q, on calcule la fonction de répartition FQ(q) empirique. Récapitulatif de la méthode : On commence par tracer le nombre d'occurrences (Q en m3/s). On choisit ensuite la largeur des histogrammes, Δx en m3/s, pour obtenir l'histogramme de fréquences, puis la densité de probabilité. L'estimation empirique de la fonction de répartition est simplement obtenue en cumulant l'histogramme des fréquences. Ainsi la courbe des fréquences cumulées est aussi appelée fonction de répartition empirique estimée.

Méthode de Hazen : La méthode par points, ou méthode de Hazen, permet également d'estimer une fonction de répartition empirique. Celle-ci est obtenue en classant les observations par ordre croissant puis en appliquant la formule de Hazen points par points.

Les fonctions de répartition empiriques obtenues avec les deux méthodes sont très proches, comme le montre la superposition suivante:

 


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Ajustement de lois de probabilités classiques

 

Il est possible d'ajuster des lois de probabilités théoriques aux lois empiriques estimées précédemment. La méthode des moments est utilisée pour ajuster les lois empiriques et théoriques entre elles.

 

Loi de Gauss

On commence par ajuster une loi gaussienne à la densité de probabilité, puis à la fonction de répartition empirique. Les résultats obtenus sont les suivants:

On remarque ici que la loi théorique s'ajuste mal à la densité de proba empirique. En effet, l'ajustement est mauvais car trop peu de données ont été traitées (N=103 >> faible !). Par contre, l'ajustement est très bon pour la fonction de répartition empirique. En effet, on voit qu'on a un bon ajustement de Gaussienne car les coefficients Asym et Aplat sont proches de zéro :
Aplat = - 0,2645
Asym = 0,2599

 

Loi de Gumbel

Nous allons maintenant ajuster une loi de Gumbel à la fonction de répartition empirique, et comparer le résultat avec la loi Gaussienne. Pourquoi utiliser cette loi ? En théorie, lorsque N → ∞ (ici, N = 103 – à prendre en compte pour la qualité de l'ajustement), la variable aléatoire extrême « débit de crue » ne dépend que faiblement de la loi de proba de la V.A. « débit », et sa loi tend vers une loi de probabilité de Gumbel (double exponentielle).
Les résultats obtenues après ajustement étant proches de la Gaussienne ajustée, nous avons superposé les deux lois théoriques avec la fonction de répartition empirique (formule de Hazen) :

Ce graphique montre que la Gaussienne est mieux ajustée à la loi empirique que la loi de Gumbel.

Ce dernier graphique montre l'écart entre gaussienne et loi de Gumbel. La loi de Gauss étant la mieux adaptée aux données empiriques, on voit que la loi de Gumbel surestime et sous-estime successivement la fonction de répartition.


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Etudes statistique de lnQ, Q²...

 

Regardons si les lois théoriques ne peuvent pas être mieux ajustées aux valeurs empiriques. Pour cela, nous allons effectuer l'étude statistique des variables aléatoires « lnQ », « Q² », « Q3 » et « Q4 ». Quelle que soit la variable choisie, il faudra choisir une largeur d'histogramme de 1000.

 

Logarithme du débit: lnQ (10000lnQ en pratique)

Avec cette nouvelle variable aléatoire, on calcule de nouveau la fonction de répartition empirique et on lui ajuste une gaussienne. On trouve les résultats suivants :
Asym(lnQ) = - 0,004 << Asym(Q)
Aplat (lnQ)= -0,37 ≈ Aplat(Q)
→ La loi gaussienne est un meilleur estimateur pour la variable aléatoire lnQ que pour Q.

De plus, on trouve toujours que la loi de Gumbel est moins bien ajustée que la loi Gaussienne.

 

Variable aléatoire Q² (Q²/100000 en pratique)

Avec cette nouvelle variable aléatoire, l'ajustement de la gaussienne est caractérisé par :
Asym = 0,529
Aplat = 0,0611
(voir plus loin pour la comparaison avec les autres variables aléatoires)

D'autre part, la loi de Gumbel s'ajuste mieux que la gaussienne, particulièrement aux valeurs extrêmes de x.

 

Variables aléatoires Q3 et Q4 (Q3/10e10 et Q4/10e15 en pratique)

L'ajustement de la gaussienne est caractérisé par :
Pour Q3 : Asym = 0,807 Aplat = 0,0613
Pour Q4 : Asym = 1,096 Aplat = 1,402
(voir plus loin pour la comparaison avec les autres variables aléatoires)

La loi de Gumbel s'ajuste d'autant mieux à la FdR empirique de la variable aléatoire Qn que la puissance n est élevée.

 

Bilan sur les variables aléatoires

D'après les informations précédentes, on peut classer les variables aléatoire selon leur ajustement aux lois théoriques de Gauss et de Gumbel. On obtient ainsi :
Gauss : Q4 < Q3 < Q2 < Q < lnQ
Gumbel: Q4 > Q3 > Q2 > Q > lnQ
Ces résultats sont en partie basés sur la comparaison des coefficients:
→ Asym: Q4 > Q3 > Q2 > Q > lnQ
→ Aplat: Q4 > Q3 > lnQ > Q > Q2


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Étude des crues extrêmes : loi de poisson

 

Avec les parties précédentes, on a étudié la loi de probabilité de la variable aléatoire « crue annuelle » Q. On connait maintenant sa fonction de répartition FQ(q) empirique, et l'on dispose d'une loi théorique qui lui est ajustée, par exemple la Gaussienne.

 

Débits de crue décennale et centennale

On peut utiliser la loi FQ(q) pour obtenir la valeur du débit de crue annuelle ayant une probabilité 0,90 de ne pas être dépassée. Il s'agit du débit de crue décennale (en m3/s), q10, défini par : FQ(q10) = Pr(Q<= q10)=0,90
Autrement formulé, ce débit q10 a donc une chance sur 10 d'être dépassé, puisque sa probabilité de dépassement est 1 – 0,90 = 0,10. Les événements « dépassements du débit q10 » ont donc en moyenne une fréquence de retour de une année sur 10. Comme d'autre part il s'agit de débits annuels, ces dépassements ont donc un temps de retour de 10 ans (sur une période infinie en théorie). En effet, on définit le temps de retour par :

De cette manière, on trouve d'après les fonctions de répartition obtenues précédemment :

Débit « TR-ennal »

FQ

Empirique

Gauss

q10

0,9

66200

66360

q100

0,99

/

72880

Ce tableau nous permet une fois de plus de comparer les lois empirique et gaussienne. Les valeurs q10 et q100 obtenues à partir de la gaussienne sont représentées dans le graphique suivant :

Les données empiriques ne nous permettent pas d'obtenir de valeurs pour q100, ni q1000. Ces valeurs peuvent uniquement être déterminées par extrapolation (et donc par utilisation de lois théoriques ajustées).

 

Dépassement de seuils de débits – Crues rares et loi de Poisson

On considère ici la séquence des débits de crues annuelles Q(ti), avec ti=iéme année. Il s'agit d'un processus temporel, pour lequel on définit l'évènement « dépassement » d'un seuil de débit élevé, comme q10 ou q100, par : dépassement <=> Q(ti) >= qTR
On voit avec la figure précédente que sur une durée de 103 ans, le débit de crue décennale est dépassé 10 fois, et que le débit de crue centennale est dépassé deux fois. On vérifie bien que les temps de retour associés sont respectivement de 10 et 100 ans.
En théorie, on a :
Si qTR >> Qmoy, alors les dépassements sont des évènements ponctuels (si TR ≥10ans ), et le nombre d'occurrences N sur une durée donnée TD suit une loi de Poisson : PN = Proba (k=N).

 

On peut donc calculer, à l'aide de la loi de Poisson, les probabilités suivantes:

 

TD = 104 ans avec q100 de temps de retour 100 ans :

Proba ( 0 événement Q > à q100) = P0 = exp(-103/100) → P0 = 35,7 %;
=>35,7 % de probabilité de ne pas dépasser le débit q100 sur 103 ans. (ou encore, 35,7 de chances sur 100 de ne pas dépasser le débit de seuil sur une durée de 103 ans)

Proba ( 1 événement Q > à q100) = P1 = 1,03 x exp(-103/100) → P1 = 36,8 %
=> 36,8 % de probabilité de dépasser une fois le débit q100 sur 103 ans.

Proba ( N ≥ 1) = 1-P0 = 64,3%
=> 64,3 % de probabilité de dépasser au moins une fois le débit q100 sur 103 ans.

Proba ( N ≥ 2) = 1-P0-P1 = 27,5%
=> 27,5 % de probabilité de dépasser au moins deux fois le débit q100 sur 103 ans.

 

De même, on peut calculer :

 

TD = 104 ans avec q10 de temps de retour 10 ans :

Proba ( 0 événement Q > à q10) = P0 = exp(-103/10) → P0 = 0,0034 %
=> 0,0034 % de probabilité de ne pas dépasser le débit q10 sur 103 ans !

Proba ( 10 événements Q > à q10) = P10 = 12,46 %
=> 12,46% de probabilité de dépasser dix fois le débit q10 sur 103 ans.

Proba ( N ≥ 1) = 1-P0 = 99,99%
=> 99,99 % de probabilité de dépasser au moins une fois le débit q10 sur 103 ans !

 

Moments de la loi de Poisson

Le nombre moyen d'occurrences sur la durée TD = 103 ans est : =μ. TD = TD/TR
L'écart-type du nombre d'occurrences sur la durée TD est : σN = √( μ. TD)
Par exemple, pour q10: =10,3 et σN = 3,2


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