Les modèles de rupture


Le but de cette partie est de présenter des modèles de rupture afin de pouvoir exprimer des critères de rupture et connaître les produits de la collision.

Il existe un large panel de modèle qui diffèrent selon:

1) les caractéristiques du matériau : la dureté, le module Young, ductile/fragile, le procédé de fabrication (ex: les granules)...


2) La géométrie de la particule: sphérique, cubique, anguleuse..etc


3) Les contraintes exercées: cisaillement, compression, roulement..etc


4) Les conditions opératoires: dans un jet, dans une meule, dans un lit fluidisé..etc


Deux modèles ont été choisis par rapport à leur pertinence vis à vis de la problématique:

1) Un modèle d'attrition: le chipping lien vers chipping

2) Un modèle de fragmentation lien vers fragmentation


Un modèle d'attrition: le "chipping"


Ce modèle est du à M. Ghadiri, Z. Zhang ( [3] ) et est validé expérimentalement ( [2] et [4] ). L'approche est semi-empirique.

Il s'applique aux particules fortement anguleuses (sharp) et ductile. Il repose sur l'analogie entre la collision de particules anguleuses et les tests d'indentation


Ces tests servent à mesurer les propriétés de la surface d'un matériau en enfonçant une extrémité pointu ( l'indenteur) dans le matériau testé. On mesure la profondeur de la marque de l'indenteur en fonction de la charge, et on en déduit le module élastique et la dureté du matériau.


A gauche schéma d'un test d'indentation. A droite, analogie entre indentation et collision de particules anguleuses

On peut alors faire l'analogie entre l'effet de l'indenteur sur un matériau et de la rugosité d'une particule A sur la surface d'une particule B.

En effet, on peut montrer que du faut du faible rayon de courbure des rugosités, la contrainte exercée sur le matériau B produit facilement une fissure.

On calcule alors une taille caractéristique de fissure en profondeur h (vers l'intérieur de la particule) et de fissure latérale sur une particule cubique de largeur l.



Le volume perdu lors de l'impact est égal à Vp=hc². On définit alors une perte de masse relative:



I Calcul de h


On considère que la profondeur de la fissure h est égal à la profondeur de pénétration de l'indenteur. En supposant que la résistance à la pénetration est essentiellement due à la plasticité de la particule, on trouve grâce au PFD.



est la masse volumique de la particule, H la dureté, V la vitesse d'impact et tp la durée de la pénetration qui vaut .


Ainsi :


II Calcul de c


La valeur de c est donnée par la linéarisation de corrélations empiriques :

On remarque que l'expansion latérale des fissures dépend de la profondeur de l'indentation


III Calcul de la perte de masse relative


On montre finalement que


IV Conséquences et limites du modèle


Les conséquences importantes de ce calcul sont:

1) La perte est linéaire par rapport à la taille de la particule

2) La perte est proportionelle au carré de la vitesse;


Les expériences faîtes avec des particules de catalyseurs ( [2] et [4] ) confirment la dépendance linéaire avec l et quadratique avec V.


La constante de proportionalité est déterminée de manière empirique. Elle est de l'orde de 1.e-4. Elle varie avec le nombre d'impact. En effet, des tests [4] ont montré que la constante augmentait pour une même particule avec le nombre de collisions. Une valeur moyenne de cette constante est alors retenue.

Ces expériences montrent une transition chipping-fragmentation sans vraiment établir un critère.


Le schéma ci-dessous illustre ce phénomène :


N représente le nombre de choc que subit une particule et V la vitesse d'impact d'une particule sur une autre particule ou paroi. Il existe un domaine où la vitesse (V inférieur à Vo) d'impact est trop faible pour provoquer une brisure. Pour N=1, il existe une vitesse limite d'impact Vc au delà de laquelle, la fragmentation est prédominante. Entre ces deux domaines, l'attrition domine. Mais au fur et à mesure des collisions, la surface rugueuse disparait laissant la fragmentation comme mécanisme dominant. Les collisions à répétitions provoquent des micro-fissures à l'intérieur du matériau diminuant l'énergie (et donc la vitesse d'impact) nécessaire à la fragmentation.


Aucune données n'est données sur la taille des produits de la collision. Cependant la variation de masse étant très petite par impact de l'ordre de 1.e-4, la taille des produits émis peuvent être considérée comme très inférieur à la taille de la particule


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Modèle de fragmentation


La fragmentation d'une particule nécessite beaucoup plus d'énergie que l'attrition du fait de l'énergie nécessaire pour créer de de nouvelles surfaces. Le modèle proposé ici est pour des particules de type fragile, ce qui est un point négatif car le modèle chipping est développer pour des particules ductiles. Cependant le modèle présenté ci-dessous peut servir de base au développement d'un modèle de particule de type ductile.


En reprenant la partie résilience, l'énergie nécessaire à la rupture d'une particule est égale à son énergie élastique:



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Auteurs : DECASTRO Jonathan et HERAULT Johann