Approche théorique

Introduction

La modélisation macroscopique d'écoulements en milieux poreux avec échange de chaleur est d'un grand intérêt théorique mais aussi industriel pour la meilleure compréhension et l'optimisation de grands échangeurs de chaleurs à géométrie complexe tels que les coeurs de réacteurs nucléaires. En effet, la complexité géométrique de telles structures rend impossible la simulation numérique de toutes les échelles de l'écoulement. Néanmoins, seules les grandeurs macroscopiques de l'écoulement présentent un intérêt pratique lors de l'étude de ces systèmes.
Ce constat a permis à Carbonell et Whitaker de considérer une double prise de moyenne. Bien qu'il soit possible de réaliser en premier lieu la moyenne spatiale, c'est à dire procéder à la manière d'une LES, cette approche reste discutable du fait que seules les grandes échelles seraient simulées. Hors ces grandes échelles auraient une taille caractéristique à celle du filtre spatial qui est dans notre approche plus large qu'un pore et dégénereraient donc très rapidement. L'approche opposée est donc généralement utilisée, une première moyenne statistique conduit aux équations de Reynolds puis une seconde moyenne spatiale conduit aux équations doublement moyennées aussi qualifiées d'équations homogénéisées.
De la même manière que la prise de moyenne statistique conduit à un système d'équations ouvert avec les tensions de Reynolds comme inconnues, la prise de moyenne spatiale introduit également des termes inconnus représentant principalement les termes d'échanges entre l'écoulement macroscopique et les phénomènes de sous-filtre qui doivent donc être modélisés. Néanmoins, en plus des modèles de sous-maille utilisés dans l'approche des simulations aux grandes échelles qui ne modélisent que la cascade énergétique des grandes aux petites échelles, les modèles de sous-filtre dans les équations doublement moyennées doivent correctement représenter les transferts entre l'écoulement et la structure solide. En outre, il a été montré récemment que la dispersion pouvait être prédominante dans un écoulement turbulent en comparaison des phénomènes inertiels et diffusifs. Afin de fermer ces équations et de calibrer notre modèle, il est nécéssaire de réaliser des simulations fines et de comparer, et au besoin adapter, le modèle avec ces résultats fins de référence.

Equations homogénéisées (doublement moyennées)

A partir des équations instantannées de Navier Stokes, on obtient les équations homogénéisées doublement moyennées. Des termes de dispersion à modéliser apparaissent dans ces équations avec des problèmes de fermeture. Les résultats de simulations locales donnent une fois moyennés accès aux termes de dispersion et permettent la validation du modèle.

Procédure de prise de moyenne

La procédure employée est la suivante. Nous partons des équations instantannées de Navier-Stokes.

Nous appliquons d'abord la moyenne statistique pour obtenir les équations RANS (Reynolds Averaged Navier-Stokes). Puis nous appliquons la moyenne spatiale pour obtenir les équations de Navier-Stokes doublement moyennées.

Equation de continuité

Equation de quantité de mouvement

Equation de température

Modélisation du terme de dispersion

Méthodologie

A partir de l'équation de delta Tf et de la relation de fermeture, on obtient un problème de fermeture pour eta et zeta. Pour le résoudre, les profils de vitesse moyenne, eta et zeta sont calculés pour un écoulement établi (1D dans une section). Puis, les résultats locaux donnés par des simulations fines sont moyennés pour obtenir les termes de dispersion. Un modèle macroscopique (1D le long de l'axe du canal) peut ainsi être proposé. En le comparant avec des simulations fines (2D-3D) on peut le valider.