Etude de Colonnes à Plateaux avec Fluent

Modèle/Bibliographie

Fluent et ses équations

Ecoulement multiphasique sous Fluent

Cette partie va discuter des différents modèles Euler/Euler proposés par Fluent. Les modèles Euler/Euler proposés par Fluent sont au nombre de 3:

    Tous ces modèles sont basés sur une approche Euler-Euler. Les phases sont traitées comme des phases continues occupant tout l’espace et s’interpénétrant. On introduit la notion de fraction volumique de phase pour traduire la présence ou non d’une phase en un point donné de l’espace à un temps donné. Il existe également une seconde approche pour décrire les problèmes multiphasiques : l’approche Euler/Lagrange. Nous ne détaillerons pas cette approche puisqu’inutilisée par Fluent dans notre cas d’étude.

    Chacun de ces modèles (VOF, Mixture Model et Eulerian Model) est préconisé par Fluent pour des applications données. Dans notre cas, nous cherchons à simuler un écoulement diphasique dans lequel il existe une phase primaire (liquide) qui peut être dite continue et une phase secondaire (gaz) qui est dispersée sous forme de bulle dans la phase primaire. Ce type d’écoulement est qualifié d’écoulement à bulles (bubbly flow).

    Il existe beaucoup d’autres types d’écoulements diphasiques gaz-liquide comme par exemple les écoulements à gouttes (phase continue gaz et phase dispersée liquide), les écoulements stratifiés (deux phases continues gazeuse et liquide séparées par une interface), écoulement slug…

Multiphase_Flow.jpg
Illustration de différents types d’écoulement diphasique (Documentation Fluent)

 

Le choix d’un modèle multiphasique doit se faire en accord avec le type d’écoulement simulé. Seul le modèle retenu sera explicité en détails.

 

Le tableau ci-dessous rassemble quelques exemples d’utilisation des modèles cités précédemment :

  

 

 

 

VOF

Mixture Model

Eulerian Model

Type d’application

Ecoulement stratifié

Surface libre

Ecoulement à « grosses » bulles

Ecoulement à bulles

Sédimentation

Simulation de séparateur de type cyclone

Colonne à Bulles

Riser

Lit fluidisé


Pour notre application, la documentation Fluent préconise l’utilisation du Modèle «Eulerian Model». Nous allons maintenant détailler les équations utilisées et résolues par ce modèle.

Eulerian Model

    Lorsque ce modèle est utilisé, Fluent résout pour chaque phase une équation de continuité et une équation de bilan de quantité de mouvement. Ses équations ont directement été obtenues à partir des équations de continuité et de bilan de quantité de mouvement monophasiques. Il existe tout de même des différences entre le jeu d’équations monophasiques et multiphasiques. Le passage du jeu d’équations monophasiques au jeu d’équations multiphasiques se fait par l’introduction d’une fraction volumique de phase traduisant la présence ou non d’une phase. Il existe également dans le jeu d’équations multiphasiques des termes d’échange de masse et de quantité de mouvement entre les différentes phases.

    Les prochaines lignes vont présenter le jeu d’équations multiphasiques utilisé par Fluent lorsque le modèle « Eulerian Model » est choisi.

La fraction volumique pour chaque phase est calculée à partir de l’équation de continuité:


Continuity.jpg

Avec :

ρrq: la référence de densité de la phase q ou la moyenne volumique de la densité de la phase q sur le domaine de calcul

Le terme de droite de cette équation traduit le transfert de masse entre les différentes phases. Dans notre cas, nous ne considérons pas de transfert de masse, ce terme est donc nul.

La fraction volumique de la phase principale est calculée à partir des fractions volumiques des phases secondaires avec la contrainte que la somme des fractions volumiques doit être égale à 1.

 


L’équation de bilan de quantité de mouvement de la phase q est la suivante :

  Momentum.jpg


 

L’explicitation de certains termes est faite ci-dessous :

 

Momentum_Terme1.jpg

Terme d’échange de quantité de mouvement entre les phases du au mouvement de l’interface

Momentum_Terme2.jpg

Terme d’échange de quantité de mouvement entre les phases du à l’échange de matière (nul dans notre cas)

Momentum_Terme3.jpg 

Force extérieure, Force de portance, Force de masse ajoutée

 

On peut remarquer dans l’équation de bilan de quantité de mouvement qu’il apparaît un coefficient adimensionnel Kpq. Ce coefficient est appelé dans la documentation Fluent : « Interphase Exchange Coefficient ». Dans le cas d’écoulements à bulles, il est écrit sous la forme suivante dans le code Fluent :

Momentum_Exchange_Coefficient.jpg

  

f est la fonction de trainée et τp est le temps de relaxation des bulles.

C’est dans cette fonction de trainée qu’intervient le coefficient de trainée CD.

 

Drag_Function.jpg

 

Un exemple de loi de trainée utilisé par Fluent est le modèle de Schiller et Naumann décrit ci-dessous :

  Schiller_Naumann_Law.jpg

 

La loi de trainée utilisée par Fluent peut être personnalisée. Il est en effet possible de créer un fichier UDF (User Defined Function) lequel permettant de calcul du coefficient Kpq.

 

 

            Modélisation de la turbulence dans les écoulements multiphasiques sous Fluent

 

                Encore plus qu’en écoulement monophasique, la turbulence et sa modélisation sont très complexes lorsqu’on considère des écoulements multiphasiques. Le nombre de terme à modéliser est bien plus important qu’en monophasique.

                Fluent propose 3 modélisations de la turbulence multiphasiques basées sur le modèle k-ε. Deux autres modélisations existent, elles sont basées sur le modèle RSM (Reynolds Stress Model).

 

Nous allons détailler les modèles de turbulence basés sur le modèle k-ε qui sont les suivants :

Chacun d’eux a une application donnée dans la documentation Fluent.

 

Le modèle « Mixture » est à utiliser lorsque les phases sont clairement séparées (écoulement stratifié) et lorsque le ratio entre les masses volumiques des deux phases est proche de 1. Dans notre cas, le ratio est nettement différent de 1 puisque l’eau est 1000 fois plus dense que l’air.

Le modèle « Dispersed » est principalement à utiliser lorsque la seconde phase (pour nous la phase gazeuse) est présente en faible quantité dans la phase principale (la phase liquide dans notre cas) et que le mouvement de cette seconde phase a peu d’influence sur l’hydrodynamique de la première. Dans le cas de simulation de liquide seul comme nous le faisons ici, ce modèle pourrait être utilisé car la phase gazeuse ne vient pas perturber fortement l’écoulement liquide. Cependant, l’objectif final est de simuler l’injection de gaz dans le liquide. L’hydrodynamique de la phase liquide sera alors clairement modifiée par la présence de la phase secondaire. Nous choisissons donc de ne pas utiliser ce modèle.

Le modèle « Per Phase » est à utiliser lorsque l’hydrodynamique des deux phases est fortement liée. Nous allons donc utiliser ce modèle en gardant à l’esprit qu’il est essentiellement nécessaire pour la simulation de l’injection de gaz et non pour l’hydrodynamique du liquide seul.

 

 

                Ce modèle résout une équation de transport de k et ε pour chacune des phases. La résolution de toutes ces équations rend l’utilisation de ce modèle assez lourde mais la plus complète possible.

 

Transport_k.jpg 

 

Transport_eps.jpg

 

 

Reynolds_Stress_Tensor.jpg

 

Turbulent_Viscosity.jpg 

 

 

Exchance_Coef_Turbulence.jpg 

 

 

Option « Immiscible Fluid » de Fluent

 

Cette option de Fluent n’est pas explicitement détaillée dans la documentation. Il est notamment impossible de trouver quelles équations sont ajoutées ou modifiées par l’activation de cette option. Fluent préconise l’utilisation de cette option lorsque l’interface entre les différentes phases présente des formes saillantes ou avec des changements de direction brusque.

Il est possible d’envisager d’utiliser cette option car il existe localement dans notre géométrie ou de tels phénomènes vont se produire : injection des bulles, impact du jet liquide dans le déversoir… Il faut toutefois être conscient que nous ignorons ce qu’implique d’un point de vue équation l’activation de cette option.

 

 

VOF Model

 

Le modèles VOF est utilisé pour la simulation de l’hydrodynamique de deux ou plusieurs fluides immiscibles. Contrairement au modèle « Euler Model » lequel utilise un jeu d’équation pour chaque phase, le modèle VOF utilise une seule et unique équation pour le bilan de quantité de mouvement pour toutes les phases, auquel se rajoute une fraction volumique de phase pour chaque phase présente. Dans le cas du modèle VOF, les phases ne peuvent pas s’interpénétrer, ce qui n’est pas le cas avec le modèle « Euler Model » dans lequel les phases sont considérées comme continues occupant tout le domaine et donc interpénétrables.

 

 

 

La fraction volumique pour chaque phase est calculée à partir de l’équation de continuité à l’exception de la fraction volumique de la phase principale laquelle est déduite à de l’équation contrainte présentée plus loin:

 

VOF_Continuity.jpg

 

Avec Sαq : terme source de masse pour la phase q

 

VOF_Phase_Fraction.jpg

 

VOF_Momentum.jpg

 

L’équation de bilan de quantité de mouvement est unique pour toutes les phases. La résolution de cette équation conduit à l’obtention d’un champ de vitesse unique qui est ensuite partagé entre les différentes phases.

A noter que cette équation est couplée aux équations de conservation par l’intermédiaire de ρ et µ dont l’expression dépend des fractions volumiques de phases.

L’exemple de la masse volumique est donné ci-dessous :

 

VOF_Material_Properties.jpg

 

Les autres propriétés telles que la viscosité sont calculées de la même façon.


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Publications

    Les colonnes à plateaux sont un dispositif très largement utilisé quand il s'agit de mettre en contact une phase liquide avec une phase gazeuse. Il existe donc de nombreuses publications dans ce domaine. Ainsi, dans le cadre de notre projet, pour bien comprendre les mécanismes intervenant dans la physique des colonnes à plateaux nous avons porté notre attention plus particulièrement sur les travaux de Van Baten et Krishna (2000 et 2003) et sur ceux de Geytye Gesit et al (2003). Il peut être intéressant de noter que pour effectuer ces différents travaux leurs auteurs se sont appuyés particulièrement sur des recherches déjà effectuées notamment celle de Bennet et al en 1983 , il a donc été important de s'y pencher pour comprendre le cadre de validité des différents résultats obtenus.

R. Krishna et J. M.Van Baten

    Dans leur publication de Janvier 2003 Van Baten et Krishna se sont attachés à montrer comment la simulation numérique pouvait permettre de rendre compte de la physique des colonnes à plateaux. C'est dans cet objectif qu'ils ont donc confronté leurs résultats obtenus par la simulation CFD avec ceux obtenus expérimentalement. Ainsi en faisant varier différents paramètres (vitesse superficielle du gaz, hauteur du déversoir, charge liquide) Van Baten et Krishna ont comparé la hauteur de liquide clair trouvée numériquement avec celle trouvée grâce aux corrélations empiriques développées par Bennet et al en 1983.

    Ils ont aussi effectué des calculs de DTS et à notre tour nous pourrons utiliser leurs différents résultats pour valider les solutions que nous obtiendrons par la simulation avec FLUENT.

Getye Gesit, K. Nandakumar, et K. T. Chuang

    Comme ils l'expliquent eux même, dans leur étude, leur objectif, aussi, était de montrer comment la CFD pouvait être utilisée comme un outil de prédiction, d'analyse et de dimensionnement des colonnes à plateaux. Si au niveau du calcul des hauteurs de liquide clair le travail de Van Baten et Krishna donne des résultats remarquables au regard des corrélations empiriques, ils n'ont pas réellement tenter de prédire et de valider les différents modèles de régime d'écoulement et de flux de liquide suivant le type de plateaux considéré. C'est donc sur cet aspect que Gesit et al ont focalisé leur étude, ils ont donc cherché à montrer l'influence de différents paramètres tels que le nombre de trous, les profils et les valeurs de la vitesse d'entrée, etc..) . Ils se sont aussi attaché à confronter leurs résultats avec ceux des corrélations empiriques développées par BENNET et al en 1983.

Aussi à notre tour nous pourrons utiliser leurs différents résultats comme élément de comparaison avec ceux que nous obtiendrons sur FLUENT.


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Modèle et Fermeture sur FLUENT

    Si un certain nombre de grandeurs seront calculées par FLUENT, pour fermer totalement les équations il convient aussi de modéliser d'autres paramètres. Aussi pour que notre étude comparative puisse garder tout son sens, nous avons pris garde à ce que nos modèles correspondent à ceux utilisés dans la littérature .

    Nous avons donc simulé les écoulements en Euler/Euler: chaque phase a sa propre équation de transport et elles sont donc couplées entre elles par un terme d'échange qui est modélisé en s'inspirant des publications de Van Baten – Krishna et de Gesit et al . Pour cette modélisation on prendra aussi un modèle pour la fraction de vide du gaz en utilisant une corrélation développée par Bennet et al 1983.



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Relation de Francis

          La validation de l’hydrodynamique de l’écoulement liquide seul est faite en comparant les valeurs obtenues par simulation pour la hauteur de liquide au dessus du barrage (dite hauteur de déverse) mais également la hauteur de liquide dans le déversoir aval. La hauteur de déverse théorique est obtenue par la formule de Francis (Weir Fow and liquid height on sieve and valve trays; E.F. Wijn; 1998)


Francis.png

   
    Le débit liquide qui apparaît dans cette relation est en m3/s/mbarrage. Cette formule est valable lorsque la longueur de barrage est supérieure à 60% du diamètre de la colonne.
Dans notre cas, l’hypothèse d’un domaine d’étude 2D impose que longueur du domaine d’étude dans la direction z (profondeur) est infinie. La condition de validité de la formule de Francis est donc vérifiée. Il est également possible de constater que la hauteur de déverse dépend du débit liquide. Nous avons donc simulés plusieurs vitesses d’injection du liquide pour valider l’hydrodynamique sur plusieurs cas. A noter que cette formule est empirique.


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