Modélisation des transferts thermiques en parois dans un réacteur de fluoration de l'uranium


Modèle 1D :

Les équations :

Les échanges thermiques dans le lit sont gouvernés par l’équation suivante :

Nous faisons des hypothèses afin de simplifier nos équations ce qui permettra de les résoudre :

La température des deux phases à l’intérieur du lit est constamment modifiée par la réaction chimique. Nous considérerons que le transfert de chaleur lors de la collision des particules est négligeable. Nous ne considérerons, dans notre cas, que les deux mécanismes de transferts thermiques suivants :

avec


où est la conductivité thermique de la phase gaz. Le nombre de Nusselt de la particule est donné par la relation suivante :  avec Pr le nombre de Prandtl donné par :  .

On peut alors écrire cet échange comme étant :


Les équations simplifiées pour les deux phases sont donc les suivantes :

En remplaçant par la valeur du transfert thermique, on obtient les équations suivantes :



Les conditions aux limites :

Les conditions aux limites permettant de résoudre ces deux équations sont les suivantes :

La résolution :

Nous pouvons voir que ces deux équations sont couplées. Pour résoudre ce système, il faut l’écrire sous forme matricielle. Nous allons d’abord simplifier l’écriture du système :

Si nous notons : et 

Nous obtenons le système suivant :

Nous pouvons maintenant écrire le problème sous forme matricielle de la manière suivante : T’’=AT avec :

et

Résoudre ce problème revient à résoudre : avec et D une matrice diagonale et P la matrice de passage. Pour savoir si A est diagonalisable, il faut calculer son déterminant :

La matrice A possède deux valeurs propres distinctes qui sont et . Cette matrice est donc diagonalisable avec comme matrice D :

Le vecteur propre associé à la valeur propre est obtenu en résolvant : AX=0. Nous trouvons comme vecteur propre le vecteur :

Le vecteur propre associé à la valeur propre est obtenu en résolvant : AX=(B-C)X. Nous trouvons comme vecteur propre le vecteur :.

La matrice de passage P peut donc s’écrire sous la forme :

Résoudre le système revient à résoudre : P-1T’’=DP-1T si on note Y=P-1T=. Nous pouvons écrire le système sous la forme : Y‘’=DY soit :

Soit :

avec K1, K2, K3 et K4 des constantes d’intégration qui seront déterminées grâce aux conditions aux limites. Pour remonter aux expressions des températures, il suffit d’écrire que T=PY. Nous trouvons donc comme expression pour les températures :

Détermination des constantes d’intégration :

Pour calculer les constantes d’intégration, il faut dériver la température des particules. Sa dérivée est :

Pour la condition à la paroi des particules, nous allons linéariser le terme à la puissance 4 afin de trouver analytiquement les constantes. Pour cela, il faut écrire :

avec XM la coordonnée du point au sommet de la couche limite.

Nous supposons que . Il est alors possible d’écrire le terme de flux radiatif des particules vers la paroi sous la forme approchée suivant :

En écrivant un développement limité au premier ordre en 0 de , on obtient :

Ce qui revient à écrire :

La condition à la paroi pour les particules devient donc :

On considère dans notre cas que

En écrivant l’ensemble des conditions aux limites avec les équations de températures, trouvées dans la partie précédente, nous obtenons le système suivant :


En soustrayant la première équation à la deuxième équation, nous trouvons que :

Le troisième équation permet d’obtenir K2 :

A partir de la première équation, il est possible d’exprimer K1 en fonction de K4, ce qui donne :

Nous trouvons alors que :


avec  et 

A partir de cette valeur, nous pouvons en déduire les autres constantes d’intégration.

Si le flux est nul, c’est-à-dire que la condition à la paroi pour les particules devient : , nous trouvons alors les constantes d’intégration suivante :