Mise en équations

Présentation

Dans cette section, nous présentons une modélisation de la thermodynamique des bassins d'aération. Cette modélisation est réalisée en plusieurs étapes :

- Modélisation du mouvement liquide seul

- Modélisation du spiral flow dans une section du canal

- Modélisation du transfert d'oxygène



Modélisation du mouvement liquide seul

Le mouvement dans le bassin est induit par des mélangeurs. Ceux-ci sont modélisés par une augmentation de pression pouvant varier entre 10Pa et 70Pa. Cette valeur est demandée en entrée à l'utilisateur car elle varie selon le type de mélangeurs utilisés.

Cette difference de pression au niveau des mélangeurs induit un mouvement du liquide et par conséquent, des pertes de charge par frottement de l'eau sur les parois du bassin (pertes de charge régulières) ainsi que dans les coudes situés aux deux extrémités du bassin (pertes de charge singulières).



Pertes de charge régulières

Les pertes de charges régulières correspondent aux pertes de charge par frottement du liquide sur les parois du canal. Elles sont modélisées par la loi de fermeture de Wallis (1969) qui donne les relations suivantes :


  • Perte de charge :Image 1





  • où :

    Sw est le périmètre mouillé

    Tw est le frottement à la paroi

    A est la surface


  • Frottements à la paroi :Image 2

  • avec Re le nombre de Reynolds basé sur la vitesse du liquide et le diamètre hydraulique du canal


    fw le coefficient de perte de charge spécifique pour un écoulement turbulent et s'écrit : Image 3






    Pertes de charge singulières

    Elles correspondent à la chute de pression au niveau des coudes du bassin en raison du changement brusque de direction de l'écoulement. Elles sont modélisées par la relation :

    Image 4

    où &xi est le coefficient de pertes de charge singulière





    Pertes de charge par rugosité

    Les pertes de charge au niveau des grilles de diffuseurs sont modélisées par un terme de rugosité. Pour prendre en compte ce phénomène il est nécessaire d'introduire un terme de pertes de charge supplémentaire. Il dépend de la géométrie de la grille (hauteur des diffuseurs, longueur de la grille).



    Ecoulement liquide moyen

    La somme des variations de pression dans le bassin étant nulle, ces relations permettent de déterminer la vitesse de l'écoulement liquide Umoy.




    Modélisation du spiral flow dans une section de canal

    Présentation

    La disposition et la densité des diffuseurs ont un impact significatif sur les performances d'oxygénation. En effet, le mouvement ascendant des bulles d'air entraine le liquide en raison des forces de traînée, induisant un mouvement ascendant de l'eau. L'eau redescend alors préférentiellement dans la partie du bassin dépourvue de diffuseurs et présentant donc un faible taux de gaz, c'est-à-dire, dans le cas présent, le long des parois. De larges mouvements de recirculation de l'eau sont alors observés, provoquant la diminution du temps de contact des bulles d'air avec le liquide.

    Image 5


















    Dans la résolution de notre problème, nous nous sommes intéresées aux phénomènes de spiral flow à l'intérieur des bassins d'aération. Ces spiral flow apparaissent à la fois verticalement dans une section du bassin mais également horizontalement. Toutefois, dans le cadre de notre étude, nous nous sommes intéresées uniquement aux spiral flow verticaux dans une section du bassin.


    Equations régissant le phénomène de spiral flow

  • Schéma
  • Afin de résoudre ce phénomène de spiral flow, nous nous sommes appuyées sur un modèle de résolution de l'airlift schématisé ci-dessous :

    Image 4























  • Notations
  • - L'indice "1" correspond au liquide et l'indice "2" correspond au gaz

    - L'indice "a" correspond à la partie ascendante de l'airlift et l'indice "d" à la partie descendante de l'airlift

    - Rij est le taux de gaz ou de liquide

    - Uij est la vitesse

    - &mui est la viscosité dynamique

    - &rhoi est la masse volumique

    - &xi est le coefficient de pertes de charge

    - Qg est le débit d'air total

    - A est la section de l'airlift tel que A = b * Longueur de la grille de diffuseurs

    - R est le rayon de la bulle

    - g est la pesanteur

  • Equations
  • - Géométrique

    Image 4




    - Conservation de la masse

    Image 4





    Image 4




    - Pertes de charge

    Image 4




    - Quantité de mouvement

    Image 4




    - Vitesse terminale

    Image 4







    - Vitesse de glissement

    Image 4




    A partir de ces équations nous avons pu calculer les taux de gaz et de liquide dans la partie ascendante ainsi que les vitesses de gaz et de liquide dans tout l'airlift. De plus, Afin d'améliorer le modèle, nous avons considéré qu'il existait une zone en amont et aval de la grille de diffuseurs où le taux de gaz évolue horizontalement dans le sens de l'écoulement liquide, du à cet écoulement.

    Image 5




    Ainsi nous avons calculé le temps que met une bulle pour atteindre la surface du bassin et ainsi nous en avons déduit la longueur de ces zones.



    Transfert d'oxygène

    Présentation

    On s'interesse ici à la modélisation du transfert d'oxygène. Le but de cette partie est de calculer la concentration en oxygène en chaque point d'une ligne de courant dans l'écoulement horizontal.

    Pour ce faire, on utilise les équations décrites précédemment afin de prendre en compte le phénomène de spiral flow. L'équation du transfert d'oxygène fait apparaître un terme source correspondant au transfert des bulles vers le liquide. Les termes puits sont la dissipation des bulles à la surface du bassin et la consommation d'oxygène par les bactéries. Toutefois, dans notre modélisation, on ne prend pas en compte ces termes puits. En effet, après calculs, on remarque que la surface libre ne représente que 2% de l'aire totale des bulles donc la perte d'oxygène due à l'arrivée des bulles à la surface est négligeable. De plus, la modélisation est faite en eau claire, c'est pourquoi on ne prend pas en compte le terme puit de la consommation d'oxygène par les bactéries.


    Notations

    - L'indice "1" correspond au liquide et l'indice "2" correspond au gaz

    - L'indice "a" correspond à la partie ascendante de l'airlift et l'indice "d" à la partie descendante de l'airlift

    - Rij est le taux de gaz ou de liquide

    - Uij est la vitesse

    - &mui est la viscosité dynamique

    - &rhoi est la masse volumique

    - &xi est le coefficient de pertes de charge

    - Qg est le débit d'air total

    - A est la section de l'airlift tel que A = b * Longueur de la grille de diffuseurs

    - R est le rayon de la bulle

    - g est la pesanteur

    - Da est la diffusivité du gaz

    - &Delta t est le temps que met la bulle pour atteindre la surface du bassin

    - Cs est la concentration en gaz à saturation


    Coefficient de transfert

    Image 4







    Aire interfaciale

    Image 4







    Concentration de gaz

    Image 4








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