Contexte théorique et hypothèses

 
  Contexte théorique et hypothèses
 
 I - Hypothèses sur les conditions de houle, de marée, et de courant :
 
          I-a Conditions de marée et de courant :
 
          La marée est une succession de mouvement montant dit 'flux' et de mouvement descendant dit 'reflux' de l'état de mer. Il s'agit plus ici de présenter les caractéristiques de la marée en rapport avec notre étude que de décrire le phénomène physique en lui-même. L'action de la marée sur la circulation de l'eau et le transport sédimentaire s'effectue selon deux principes:
 
          - Les courants locaux de marée, près des côtes, sont sources de vitesses et donc de circulation de l'eau. Ils  peuvent jouer un rôle sur le transport de sédiment.
          - Le marnage, qui est pour un jour donné la différence de hauteur d'eau entre le niveau de marée haute et celui de marée basse, peut avoir une action locale sur l'érosion. Dans notre cas d'étude, cette variation du niveau de l'eau associée au déferlement peut en effet éroder les remblais sableux de l'île.
 
            Les vitesses des courants de marée ont été estimées à 0,25m/s au maximum, selon une étude menée par Rob E. de Jong, Mark H. Lindo, Saeed A Saeed et Jan Vrijhof (source: http://www.terra-et-aqua.com/dmdocuments/Terra-et-aqua_nr92_03.pdf.). Cette vitesse est négligeable par rapport aux courants moyens, de l'ordre de 1,5m/s. Toujours d'après la même étude, ces courants arriveraient sur le domaine avec une direction de 45°:

 

 Courants de marée et courants moyens

          En effet, ces courants de marée sont variables dans le temps, ce qui signifie qu'ils sont généralement en dessous de 0,25 m/s. Nous décidons donc de nous affranchir des courants de marée, pour ne nous concentrer que sur les courants moyens.
           Enfin, le marnage est de l'ordre de 1,5m sur l'ensemble de notre domaine. Les données précises sur le marnage sont disponibles sur le site suivant:  http://www.myforecast.com/bin/tide_extended.m?city=50039&metric=false&tideLocationID Nous verrons dans la suite qu'il sera délicat d'appliquer les conditions de marnage à notre étude, et ce pour deux raisons. 
          En présence de la vitesse moyenne précédemment citée, la circulation de l'eau au sein de notre domaine peut être résolue au moyen des équations de Barré de Saint-Venant à deux dimensions d'espace horizontales. Ces équations s'écrivent, en coordonnées carthésiennes:
 
 
Continuité :
 
Dynamique selon x :
 
Dynamique selon y :
       
Conservation du traceur :
 
 Avec:
- h, hauteur d'eau
- u,v, composantes de la vitesse
- T, traceur passif
- ut, uT

coefficients de diffusion de la vitesse et du traceur

- Z, cote de la surface libre
- g, accélération de la pesanteur
- t, temps
- x,y, composantes d'espéces horizontales
Les inconnues sont alors h,u,v et T dans l'ensemble du domaine.
          Nous prenons en compte ici la conservation d'un éventuel traceur, en vue d'évaluer la stagnation et/ou propagation de rejets de polluants selon les résultats des sous-groupes travaillant sur la thématiques de l'eau.
 
           I-b Conditions de houle :
           La houle et le déferlement ont un rôle sur le transport de sédiment, comme le montrent de nombreuses formules dans la littérature. Plus particulièrement, Mme Catherine Villaret du laboratoire national d'Hydraulique et Environnement d'EDF a effectué une étude sur le transport littoral.
          Nous invitons le lecteur à se référer à cette étude complète, qui présente de façon claire la démarche théorique associée à une modélisation numérique permettant de décrire ce phénomène. Pour résumer, la houle favorise le transport de sédiment par suspension – voir la partie suivante – en partie responsable de l'érosion et/ou de l'accrétion. Il s'agit alors de connaître avec précision les conditions de houle et les modèles courantologiques qui figurent sur la zone d'étude. Cela a soulevé un problème majeur dans notre cas: toutes ces données ne sont accessibles que via le site de la municipalité de Dubaï, mais sous réserve d'un mot de passe que nous n'avons pas pu obtenir. Dès lors, le manque de données fut un frein à une étude précise. Nous avons cependant réussi à obtenir la période moyenne et hauteur moyenne de la houle, ainsi que sa direction.
          Nous avons alors réalisé une étude préliminaire permettant de définir ces conditions sur l'ensemble du domaine, en prenant en compte le déferlement. Le logiciel TOMAWAC a été utilisé. Cependant, pour des raisons de versions de logiciel, nous n'avons pas pu intégrer ces résultats à notre étude sur le transport sédimentaire et la circulation de l'eau. Pour plus de clarté, nous décidons de ne pas faire figurer ici les résultats obtenus en sortie de TOMAWAC, ces derniers étant décorrélés des résultats qui nous intéressent.
          Ainsi, nous ne prenons en compte ni les conditions de houle ni le déferlement; notre étude permettra donc de définir les zones érodables, mais ne permettra pas de donner l'évolution dans le temps d'une section de remblais sableux. Cela nous ramène alors aux conditions de marnage: il aurait été intéressant d'intégrer ces conditions en vue de prédire l'évolution d'une section de remblais sableux. En effet, une telle section sera périodiquement mise à sec puis mouillée ce qui, associé au déferlement, joue un rôle notable sur l'érosion. Puisque nous ne prenons pas en compte le déferlement, il nous semble cohérent de s'affranchir des conditions de marnage.
 
II - Hypothèses sur le transport de sédiment :
 
          On distingue deux types de transport de sédiment : le transport par charriage et le transport par suspension. Le transport par charriage est horizontal, et s'effectue immédiatement au-dessus du lit. Il est dû aux collisions successives des particules sous l'effet d'une vitesse. Le transport par suspension est quant à lui favorisé par la turbulence.
          Le mouvement des sédiments débute lorsque la contrainte de cisaillement générée par le gradient de vitesse est suffisamment grande pour compenser le poids des sédiments et la force de frottement des sédiments avec le fond marin. Il s'agit alors du transport par charriage. Lorsque la vitesse de cisaillement est suffisante, les grains se détachent du lit et sont mis en suspension avant de retomber.
 

          La tension de frottement ou contrainte de cisaillement peut s'écrire:
 

 

 
Avec:
- ρ masse volumique du fluide
- u vitesse moyenne du fluide
- C coefficient de frottement

          Le coefficient de frottement peut être paramétré selon différentes lois: citons la loi de Chézy, la loi de Strickler ou encore la loi de Manning.
          Nous nous intéressons plus ici à mettre en valeur les zones érodables que le débit solide des sédiments. Ainsi, nous nous affranchissons de tout transport par suspension, ce qui constituera une hypothèse forte pour la résolution numérique. Nous ne nous intéressons donc ici qu'au seul transport par charriage.
          Une partie importante de toute étude de transport de sédiment consiste à analyser la taille des grains de sédiments. Dans la réalité, ces derniers sont rarement d'une seule nature, et l'on peut caractériser le milieu par sa granulométrie ou distribution de taille de grains. En pratique, les équations régissant le phénomène de transport de sédiment prennent en compte une seule taille de grain, en utilisant un diamètre caractéristique, ce qui constitue une forte simplification du phénomène.
            La courbe de Shields permet de délimiter la transition entre les modes de transport par charriage et par suspension, en fonction de la nature du sédiment (diamètre de la particule) et de la tension de frottement. Dans la réalité, la limite entre ces deux modes de transport n'est pas précisément définie. Comme nous l'avons précisé plus haut, nous ne prendrons en compte dans la suite de notre étude que le transport par charriage.
           Dans le cas simplifié le plus courant, le transport de sédiment par charriage, ou débit solide par charriage qsb [m²/s], dépend généralement de six paramètres:
 
- ρ et ν, masses volumique et viscosité caractéristiques du fluide;
- ρs et d, masse volumique et diamètre caractéristiques du sédiment;
- h, J, hauteur d'eau et pente moyenne caractéristique de l'écoulement.
          
Il existe une quantité de formules de charriage semi-empiriques, mais aucune n'a une validité générale. Ces formules sont généralement séparées en fonction du diamètre moyen de la particule sédimentaire. Plus particulièrement, elles s'écrivent sous la forme:

 

taux de transport
 
 paramètre de Shields
 
Avec:
 
- Qs débit solide;
- g gravité (9,81 m/s²);
- ρs masse volumique du sédiment;
- ρ masse volumique du fluide;
- s = ρs/ρ densité relative;
- D diamètre du grain;
- τ0 contrainte de cisaillement citée plus haut.
 
 
          Dans notre cas d'étude, le diamètre moyen du sédiment qui prédomine sur le domaine peut être assimilé à 400μm, selon l'étude parue dans 'terre et aqua' citée dans la partie précédente. D'après les formules les plus courantes, la formule de Einstein-Brown semble convenir à définir le transport par charriage qui siège sur notre domaine. Cette dernière est adaptée à la taille de notre sédiment, et elle ne prend pas en compte l'effet de la houle.