Etude théorique

Nous allons dans un premier temps procéder à une étude théorique. L'objectif de cette partie est de pouvoir déterminer la hauteur maximale atteinte par les effluents lors de leur injection. Comme nous l'avons dit précédemment, la connaissance de cette hauteur va nous permettre de réduire le domaine d'étude et donc le maillage du modèle. Ainsi, les temps de calcul seront diminués.

 

1. Quelques notions essentielles

 

Nous allons introduire quelques notions qui vont être utilisées dans les calculs qui suivent. Nous considérerons tout d'abord les flux spécifiques:

  • flux spécifique de quantité de mouvement:

  • flux spécifique de flottabilité:

où ω0 est la vitesse d'injection

              g' est la gravité réduite, qui est définie par:

où ρa: la masse volumique du milieu ambiant

    ρ: la masse volumique de référence

    ρ: la masse volumique de l'effluent

    g: l'accélération de la pesanteur

 

2. Etude théorique 2D

 

Dans le cadre de l'étude théorique, nous allons considéré une configuration simplifiée en 2D. Nous prendrons une 'boîte' rectangulaire munis d'un orifice. Ce dernier représente le lieu d'injection de l'effluent. Nous pouvons voir cette configuration sur le schéma suivant:

 


Figure 1: Représentation schématique du système dans le cadre de l'étude 2D.

 

La figure 1 représente le système considéré dans le cadre de l'étude théorique 2D. La vitesse d'injection est supposée constante et verticale. Les calculs sont réalisés en régime permanent, dans un fluide au repos. Le seul apport de quantité de mouvement provient de l'orifice.
Dans le cas du calcul théorique 2D, nous allons travailler avec les flux spécifiques linéiques de quantité de mouvement et de flottabilité.

 

Pour pouvoir réaliser les calculs décrits au-dessus, nous devons calculer certains paramètres:

La surface d'entrée:

Le diamètre de l'entrée est d=50cm. Cette longueur d permet de quantifier la 'surface' d'entrée pour les flux linéiques.

La vitesse d'injection:

La vitesse d'injection de l'effluent au niveau de l'orifice est définie par la variable ω0. Cette vitesse est calculée à partir du débit moyen prévu en sortie de l'émissaire et en considérant un diffuseur comportant 4 trous de diamètre 50cm. Le débit d'entrée vaut Q=2250m3/heure=0,625m3/s. Ce débit est évacué par les 4 trous qui ont chacun une section de: 0,1963m².

Ainsi, en moyenne, la vitesse d'injection est égale à:

 

La gravité réduite:

La gravité réduite est déterminée à partir de la formule définie précédemment et vaut:

 

 

En utilisant les données définies précédemment, nous obtenons:

  • le flux spécifique linéique de quantité de mouvement:

  • flux spécifique linéique de flottabilité:

 

Nous constatons que la flottabilité est négative. Cela signifie que les effets de flottabilité ont tendance à entraîner la chute des effluents vers le fond après l'injection. Ceci était prévisible au regard des masses volumiques mises en jeu. La masse volumique des effluents étant 35% plus importante que la masse volumique de l'eau du milieu ambiant, ces derniers vont retomber sur le fond marin après injection. Cependant, cette « retombé » ne sera possible que lorsque les effets de flottabilité auront pris le dessus sur les effets de quantité de mouvement qui sont instaurés par l'injection du fluide.

En effet, à la sortie de l'orifice, l'effluent se comporte comme un jet, entraîné par une quantité de mouvement m0. Cependant, au delà d'une certaine hauteur après l'injection, les effets de flottabilité vont prendre le dessus sur les effets liés à la quantité de mouvement. A ce moment là, nous obtenons un panache qui descendra vers le fond de l'océan.

 

La hauteur maximale d'injection recherchée correspond donc à la position où les effets de flottabilité et de quantité de mouvement se neutralisent. Ainsi, nous déterminons celle-ci au travers du rapport des deux quantités que sont le flux spécifique linéique de quantité de mouvement (m0) et le flux spécifique linéique de flottabilité (f0).

Soit lm l'altitude terminale atteinte par un jet idéal vertical possédant un flux de quantité de mouvement mo. Cette hauteur sera définie de la manière suivante: 

où a est une constante.

 

Après plusieurs expériences sur des jets verticaux, il a été démontré (Abraham, 1967; Turner, 1966) que la constante a prenait des valeurs comprises entre 1,5 et 2,1.

(Source : Hugo B. FISCHER, E. JOHN LIST, Robert C.Y. KOH, Jörg IMBERGER, Norman H. BROOKS (1979),

''Mixing in Inland and Coastal Waters'', Turbulent Jets and plumes, page 340)

 

La valeur de a est valable pour des jets 3D. Cependant, n'ayant pas de corrélations pour le cas 2D, nous prendrons par défaut, une valeur de a du même ordre de grandeur.

Ainsi, nous obtenons la valeur de la hauteur maximale d'injection qui est: lm=5,02m, en prenant pour a la valeur 1,5.

 

Dans la suite de l'étude, nous considérerons également une vitesse de 1,7405m.s-1, qui nous donne une hauteur maximale d'injection de: lm=12,53m en prenant pour a la valeur 1,5.

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