Mise en équation

           La réalisation de l'étude mécanique de notre système a pour objectif, à plus long terme, d'évaluer le potentiel énergétique réel d'un tel système et de le comparer aux données constructeur.

 

          Nous allons réaliser notre étude dans le plan vertical. En effet, la littérature a montré que nous pouvions étudier le comportement de notre système de manière indépendante dans chaque plan orthogonal. Dans un esprit de simplification, nous considérerons ici que notre point 0, centre du module (situé au centre de la liaison pivot), est fixe. Cette hypothèse est justifiée par le fait que notre objectif final était d'effectuer l'étude énergétique de notre système, hors la conversion énergétique de l'énergie mécanique en énergie électrique se fait justement au niveau du module. Nous nous intéresserons donc ici seulement au mouvement « pendulaire » de notre modèle simplifié par rapport à ce point, centre de conversion énergétique.

         Nous voulons, au terme de cette mise en équation, étudier la réponse du système au forçage induit par une houle quelconque.

 

3.1. Position du problème



           Tout au long de cette étude, nous utiliserons le référentiel de travail (Rg), défini par (0, xg, yg, zg). Ce référentiel est lié à la Terre et il est considéré comme galiléen. zg désignant la verticale ascendante, l'intensité de la pesanteur est alors notée .

          Dans un soucis de simplicité, nous utiliserons pour la suite de l'étude les notations suivantes : (S1) le cylindre 1 (cylindre de gauche), (S2) le cylindre 2 (cylindre de droite) et (S0) le module central.

 

3.1. Cas du cylindre 1

         

Hypothèse : En première approximation, nous considérerons que la surface en contact avec l'eau est constante en module.



           Nous nous intéresserons tout d'abord au solide (S1), de masse m, dont l'axe principal d'inertie est (G1, x1), où G1 est le centre de masse de ce solide. Le repère lié à S1 est le repère (R1) = (0, x1, y1=yg, z1). La position du solide (S1) est repérée par l'angle (cf schéma ci-dessus).

    Exprimons la matrice d'inertie d'un cylindre creux de révolution en G1 :

           Nous considérons ici un cylindre de masse m, de rayon interne Ri, de rayon externe Re, de hauteur L et de centre d'inertie G1. Nous allons tout d'abord exprimer la matrice d'inertie en G1 dans le repère (R) = (x, y, z) présenté sur le schéma ci-dessous :


Montrons que (x, y, z) est un repère principal d'inertie, c'est-à-dire que la matrice  s'écrit dans ce repère comme suit : .

- Par symétrie, à tout point M (xM, yM, zM), il est possible d'associer un point M' (xM, yM, -zM) de même masse élémentaire. Nous obtenons donc car M contribue à (zMyMdm) et M' à ((-zM)yMdm) et leurs contributions s'annulent.

- De même, nous obtenons : .

- En associant (xM, yM, zM) et (xM, -yM, zM), nous montrons que.

 

⇒ Les termes non diagonaux de dans le repère (x,y,z) correspondant à , , et

Le terme C correspond au moment d'inertie par rapport à l'axe passant par G1 (centre du cylindre).

NB : Le résultat que nous obtenons est indépendant de l'épaisseur, c'est-à-dire de la hauteur du cylindre !

       (avec :).

 

Le terme se calcule en découpant le cylindre en tranches d'épaisseur dx perpendiculaires à l'axe . La masse élémentaire s'exprime alors de la manière suivante : , d'où  .

Nous obtenons donc l'expression du moment d'inertie par rapport au plan suivante : .

Par définition, nous avons : et  .

. Or comme A=B, cela donne ou encore :

.

Au final, nous obtenons la matrice d'inertie du cylindre de révolution en G1 exprimée dans la base (R) suivante :

dans (x, y, z).

 

          Pour la suite de notre étude, nous avons besoin de l'expression de cette même matrice dans la base (R1). Après calculs, nous obtenons la matrice d'inertie du cylindre de révolution (solide (S1)) en G1, exprimée dans la base (R1), suivante :

dans (R1) avec : 


          Afin de quantifier l'action réelle du module entre les deux cylindres, nous allons le modéliser par une articulation entre (S0) et (S1) de type pivot parfait d'axe (O,y1), mis en parallèle avec un ressort et un amortisseur. L'effet de ce ressort+ amortisseur sera modélisé par un couple variable : , avec vecteur unitaire. Le solide tournera autour de l'axe , avec un couple moteur de la forme  ,  avec (β, K, λ) des constantes dépendant des données constructeur et θ un angle relatif .

 

3.2. Cas du cylindre 2

           Cette fois-ci nous allons nous intéresser à l'étude du mouvement du cylindre 2. Ce cylindre est de masse m, et possède (G2, z2) comme axe principal d'inertie, où G2 est le centre de masse de ce solide. Le repère lié à S2 est le repère (R2) = (0, x2, y2=yg, z2). La position du solide (S2) est repérée par l'angle (cf schéma ci-dessous).

 

 

           Nous allons utiliser le même type de raisonnement qu'au-dessus. Ici l'axe principal d'inertie du cylindre sera l'axe des z et non plus l'axe des x. Ce seront donc les axes x et y qui joueront le même rôle. Ainsi, en utilisant la même démarche que celle développée ci-dessus, nous obtenons les matrices d'inertie en G2 suivantes.


   Expressions de la matrice d'inertie d'un cylindre creux de révolution en G2 :

          

          Tout d'abord nous exprimons cette matrice d'inertie dans le repère (R*) = (x*, y*, z*), qui est présenté dans la figure ci-dessous :

          Comme (R*) est un repère principal d'inertie et en tenant compte des remarques faites en introduction, nous obtenons la matrice d'inertie exprimée en G2, dans le repère (R*), suivante :

dans (x*, y*, z*). 

          Pour la mise en équation nous avons besoin de l'expression de cette même matrice dans la base (R2). Après calculs, nous obtenons la matrice d'inertie du cylindre de révolution (solide (S2)) en G2 exprimée dans la base (R2) suivante :

dans (R2) avec :

          Afin de quantifier l'action réelle du module entre les deux cylindres, nous allons le modéliser par une articulation entre (S0) et (S2) de type pivot parfait d'axe (O,y2), mis en parallèle avec un ressort et un amortisseur. L'effet de ce ressort+ amortisseur sera modélisé par un couple variable : , avec vecteur unitaire. Le solide tournera autour de l'axe , avec un couple moteur de la forme  , avec (β, K, λ) des constantes dépendant des données constructeur et θ un angle relatif .

 

 

 




Interactions Fluide/Structure

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Calcul des moments