Mise en équation - Les moments

 

3.2. Calcul des moments 



 

3.2.1. Description du mouvement d'un cylindre

          Nous allons expliciter ici les paramètres nécessaires à la description du mouvement d'un des éléments cylindriques du Pelamis. Nous avons considéré qu'étudier les rotations de ce cylindre selon son axe propre (mouvement de roulis) et/ou selon le plan horizontal (mouvement de lacet) ne présentait pas de réel intérêt, celles-ci étant quasi-inexistantes dans notre étude de cas. En terme de rotation, nous nous intéresserons donc seulement à l'oscillation se produisant dans le plan vertical, paramétrée par l'angle θ.

Si nous considérons maintenant les translations, les cylindres sont maintenus par des câbles à leur extrémité, nous supposerons donc qu'il n'y a pas ou peu de déplacement selon x, et nous négligerons les déplacements selon y. En terme de translation, nous pourrons donc éventuellement nous intéresser au mouvement selon z.

Finalement, dans le cadre de notre étude, il n'y a qu'un seul paramètre de configuration indépendant nécessaire à la description d'un cylindre. Il y a donc deux paramètres indépendants nécessaires à la description de l'intégralité de notre système.

3.2.1.1. Cas du cylindre 1

Soient :         - la vitesse de rotation du solide (S1) par rapport à (Rg) :

                    - la vitesse du point G1 projeté dans la base (R1) : 

 

Nous allons appliquer le théorème du moment cinétique au point O du système constitué par le cylindre de gauche en projection dans le base (R1).

A l'aide du théorème de Koënig, exprimons le moment cinétique   du solide S1 dans le base (R1) :

 d'où : 

Finalement, nous obtenons : 

Nous pouvons maintenant appliquer le théorème du moment cinétique au cylindre de gauche en O :

Cela conduit à :

Notons que et  puisque O est le point d'application de la liaison pivot.

Ci-dessous, les détails du calcul des moments pour chaque force énoncée auparavant :

                                  

 

Étant donné que les forces de Froude-Krylov et de Morison sont des forces réparties sur la surface en contact avec l'eau, celles-ci nécessitent d'effectuer un calcul intégral. 


Le moment induit par la force de Froude-krylov est du à trois contributions (cf schéma ci-dessus)  : la contribution de la force de pression appliquée sur le fond horizontal de l'objet et une plus faible contribution de la force de pression appliquée aux deux extrémités immergées. Nous pouvons ainsi décomposer le calcul du moment en trois composantes :


avec : 

Après calculs nous obtenons :

 

avec :

ce qui après calcul donne Quant au moment de la force de Morison, nous le calculons de la façon suivante :

 

3.2.1.2. Cas du cylindre 2

Soient :         - la vitesse de rotation du solide (S2) par rapport à (Rg) :

                    - la vitesse du point G2 projeté dans la base (R2) :

Nous allons appliquer le théorème du moment cinétique au point O du système constitué par le cylindre de gauche en projection dans le base (R2).

A l'aide du théorème de Koënig, exprimons le moment cinétique  du solide S2 dans le base (R2) :

avec :  

Finalement, nous obtenons :

Nous pouvons maintenant appliquer le théorème du moment cinétique au cylindre de droite en O qui s'exprime par la relation ci-dessous :

En effet, comme précédemment, nous avons : et .

Vous trouverez ci-dessous les détails du calcul des moments des différentes forces appliquées au cylindre 2 :

Étant donné que les forces de Froude-Krylov et de Morison sont des forces réparties sur la surface en contact avec l'eau, celles-ci nécessitent d'effectuer un calcul intégral.

                               

De la même façon que pour le cylindre 1, nous pouvons décomposer le moment de la force de Froude-Krylov en trois termes :

Pour obtenir les moments dans le repère (R2), il faut remarquer que x correspond à -z2 et z correspond à x2. Nous obtenons ainsi la nouvelle expression de la pression dynamique autour de l'objet suivante :

.

En tenant compte de toutes les remarques faites au-dessus, nous déduisons des expressions du cas 1, les expressions pour le cas 2 qui sont les suivantes :

Après calculs à l'aide de la méthode d'intégration par parties, nous obtenons finalement :

 Quant au calcul du moment de la force de Morison, il se décompose de la manière suivante :

 

3.3 Equations finales



 

3.3.1 Cas du cylindre 1

          Finalement, en appliquant le théorème du moment cinétique en 0 en projection dans le repère (R1), nous obtenons l'équation suivante :

 avec :

  •  ;
  • (β, K, λ) des constantes dépendant des données constructeur ;

  • Cd = 1.0 – 1.4 et Cm = 2 dans le cas de la théorie linéaire de vague (Airy) ;
  • A1 : surface du disque immergé ; A2 : diamètre immergé ;
  •  

3.3.2 Cas du cylindre 2

          Finalement, en applicant le théorème du moment cinétique en 0 en projection dans le repère (R2), nous obtenons l'équation suivante :

 

avec :

  •  ;
  • (β, K, λ) des constantes dépendant des données constructeur ;

  • Cd = 1.0 – 1.4 et Cm = 2 dans le cas de la théorie linéaire de vague (Airy) ;
  • A1 : surface du disque ; A2 : diamètre immergé ;
  •  

     




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