Résolution des équations

4. Résolution par la méthode de Runge-Kutta



          Nous disposons d'un système d'équations différentielles (C) dont les inconnues sont θ1 et θ2.. Parmi les différentes méthodes de résolution, nous avons retenu celle de Runge-Kutta, qui consiste à écrire une solution approchée de (C) où interviennent uniquement des évaluations de la fonction à déterminer (et non pas de ses dérivées), de manière à ce que cette solution algébrique conduise à une erreur du même ordre que celle du développement en série de Taylor de (C). Il existe plusieurs méthodes de Runge-Kutta faisant référence à l'ordre jusqu'auquel est effectué le développement de Taylor.


          On peut considérer la méthode de Runge-Kutta comme une généralisation de la méthode d'Euler-Cauchy. Elle est définie par :  où h est le pas de l'itération pour un problème du type : y' = φ(t,y).

La méthode la plus souvent utilisée est RK4. Elle utilise l'équation suivante :

yn+1 = yn + h(k1+2k2+2k3+k4) / 6  avec les ki suivants :

 

k1=φ(tn,yn)
k2=φ(tn+h / 2,yn+hk1 / 2)
k3=φ(tn+h / 2,yn+hk2 / 2)
k4=φ(tn+h,yn+hk3)

 Cette méthode numérique peut se faire par le biais d'un programme Matlab ou bien être codée en langage fortran.


          Après la résolution de ce système d'équations, le mouvement du Pelamis pourra être illustré et une évaluation de l'énergie réellement produite par le Pelamis pourra être effectuée. Le mouvement du Pelamis avec le temps, qui sera obtenu après résolution du système d'équations présenté précédemment, est illustré dans les figures ci-dessous :

Mouvement du Pelamis vu en coupe latérale (OPD, http://oa.uninova.pt/1213/1/Jose_Caldeirinha.pdf)

 




Calcul des moments

Haut de page
Annexes