Marche au hasard



Théorie générale

En mathématiques et en physique théorique, une marche au hasard est un modèle mathématique d'un système possédant une dynamique discrète composée d'une succession de pas aléatoires, effectués « au hasard ». Ces pas aléatoires sont de plus totalement décorrélés les uns des autres.
A chaque instant, le futur du système dépend de son état présent, mais pas de son passé, même le plus proche. Autrement dit, le système « perd la mémoire » à mesure qu'il évolue dans le temps. Pour cette raison, une marche aléatoire est parfois aussi appelée « marche de l'ivrogne ».

Cette modélisation mathématique permet de rendre compte de certains phénomènes naturels, dont l'exemple le plus fameux est le mouvement brownien, correspondant aux mouvements en apparence aléatoires de grains de pollens immergés dans l'eau.
Mouvement Brownien : description mathématique du mouvement aléatoire d'une « grosse » particule immergée dans un fluide et qui n'est soumise à aucune autre interaction que des chocs avec les « petites » molécules du fluide environnant. La description physique la plus élémentaire du phénomène est la suivante :

- entre deux chocs, la grosse particule se déplace en ligne droite avec une vitesse constante ;
- la grosse particule est accélérée lorsqu'elle rencontre une molécule de fluide ou une paroi.

Ce mouvement permet de décrire avec succès le comportement thermodynamique des gaz (théorie cinétique des gaz), ainsi que le phénomène de diffusion.

En mathématiques ou en informatique, on étudie souvent des marches au hasard sur des réseaux réguliers ou sur des graphes plus complexes. C'est par exemple la méthode utilisée par le moteur de recherche Google pour parcourir, identifier et classer les pages du réseau internet.

Techniquement, les marches aléatoires sont du domaine de la théorie des probabilités. Une marche aléatoire est en effet un processus stochastique du type chaîne de Markov. Elle se décompose en unités élémentaires appelées pas, dont la longueur peut être elle-même constante, aléatoire ou fixée par le réseau ou le graphe sur lequel on circule. À chaque pas, on a donc un éventail de possibilités pour choisir au hasard la direction et la grandeur du pas. Cet éventail de possibilités peut être discret (choix parmi un nombre fini de valeurs), ou continu.




Nos équations :

Marche aléatoire isotrope sur un continuum à 2 dimensions
On considère la marche aléatoire sur le plan R² définie par le processus suivant :
la particule est initialement à l'origine : x(0)=0, y(0)=0 et se déplace sur le plan par des sauts successifs.




Répartition angulaire

- à chaque saut, la particule avance d'une longueur unité dans une direction caractérisée par un angle polaire a défini par rapport à l'axe Ox. On choisit par exemple : .





Moyenne centrée
Cet angle polaire a est une variable aléatoire, caractérisée par une densité de probabilité f(a). Le processus est isotrope lorsque toutes les directions sont équiprobables, ce qui correspond au choix d'une densité uniforme :


Chaque direction de saut est totalement indépendante de la direction du saut précédent.




Distance à l’origine

Lors d’une marche normale, la distance parcourue à une vitesse donnée est évidemment proportionnelle au temps. Or, pour la marche au hasard, la direction choisie à chaque nouveau pas est aléatoire : elle est en particulier indépendante de la direction d’où l’on vient. C’est donc une marche particulièrement inefficace, puisque la probabilité de rebrousser chemin est la même que celle de continuer dans la même direction 

Un tel processus probabiliste est modélisé par le mouvement d’une particule mésoscopique soumise aux forces aléatoires dues aux collisions moléculaires. On montre que, dans ces conditions, la distribution spatiale d’un ensemble de telles particules suit la même équation que celle qui décrit une diffusion au cours de laquelle, par exemple, des molécules de parfum se répandent dans une atmosphère calme, sans vent. La diffusion peut donc être obtenue comme moyenne probabiliste d’un ensemble de processus discrets.

Il résulte aussi de l’analyse que c’est le carré de la distance moyenne parcourue qui est proportionnel au temps écoulé. Mathématiquement, cela se traduit par la relation : ?2 = 2Dt, où ? désigne la distance moyenne parcourue pendant l’intervalle de temps t. D s’appelle le coefficient de diffusion.

Ce processus est dit entropique, au sens où il décrit l’évolution du système vers l’état le plus probable : celui où les particules sont également réparties dans l’espace disponible.