Compléments - Affinité mathématique d'une couche limite



Affinité du profil de vitesse :

   - origine :

L'étude expérimentale montre que le profil de vitesse à l'intérieur d'une couche limite présente une affinité. Il existe une fonction f telle que U(x,y)/Ue(x)=f(η) avec η=y/δ(x).

   - conséquences :

En utilisant des fonctions particulières f qui pourrait décrire ce profil (polynômiale de degré variable, sinusoïdale), on détermine, par une méthode de calcul, les constantes de ces fonctions. Par exemple, la fonction sinusoïdale qui est déterminée par cette méthode est un sinus pur : sin(π/2*η).

      → détermination de δ :

on trouve alors que   


avec une constante A~5.

Cette constante dépend du choix de la fonction (elle est de 4,8 pour le sinus pur et de 5,84 pour le profil polynômial de Polhausen par exemple).

      → détermination des autres valeurs caractéristiques :

Bien que les fonctions considérées soient différentes et induisent de légères différences sur la valeur de l'épaisseur de la couche limite, on détermine par le calcul que les autres valeurs caractéristiques sont, elles, relativement proches.
Cette propriété essentielle justifie cette méthode et l'emploi de fonctions mathématiques simples et manipulables (connues explicitements, dérivables...) pour décrire le profil de vitesse, si ce n'est exactement dans sa forme au moins dans ces caractéristiques dynamiques.


Affinité couche limite thermique et dynamique :

   - relation entre épaisseurs caractéristiques :

Dans le cas d'écoulements convectionnels forcés ( la vitesse impose le mouvement du fluide pas les gradients de température ), couches limites thermique et dynamique sont liées.

on a la relation :   


avec Pr le nombre adimensionnel de Prandtl (Pr=ν/a) dont certaines valeurs sont : eau Pr~10 et gaz Pr~1 (air Pr=0,71).

   - relation entre champs de vitesse et température :

Pour un écoulement forcé à faible vitesse, l'étude du seul profil de vitesse permet la détermination mathématique de celui de température. Cette détermination est aisée dans le cas particulier Pr=1 :

on a alors la relation explicite :   


Les échanges thermiques d'une plaque (voiture, avion) avec l'air (Pr proche de 1) peuvent donc être approximés grâce à cette relation et la connaissance approchée de la vitesse par la méthode issue de l'affinité du champ de vitesse.