Couche limite sur plaque plane



Définition :

L'étude de la couche limite sur plaque plane est la détermination du profil de vitesse dans la zone au contact d'une plaque plane semi-infini et infiniment mince.



Elle est possible dans le cas d'écoulements particuliers du fluide, ceux du modèle de Prandtl.
Sa résolution est alors déterminée par l'équation de Blasius.


Equation de Blasius :

A partir de la propriété d'affinité du champ de vitesse dans la couche limite, on sait que la vitesse se met sous la forme :

   avec      et      avec   


L'écoulement étant isovolume (modèle de Prandtl), U dérive d'une fonction vecteur courant ψ par la relation :



On pose donc une forme particulière à la fonction ψ qui vérifie cette relation :



En utilisant l'autre relation :   


et en injectant cela dans la deuxième équation du système d'équation de Prandtl, on aboutit finalement à l'équation différentielle, dite équation de Blasius :



avec les conditions aux limites :




Résolution :

La résolution exacte de cette équation par voie numérique (Matlab) permet la détermination des valeurs que prend cette fonction f et ces dérivées en fonction de la variable η.
On visualise alors la forme du profil de vitesse, dit de Blasius et l'on détermine les épaisseurs caractéristiques de la couche limite sur plaque plane.

Ainsi on trouve l'évolution de l'épaisseur de couche limite :   


On remarque bien que la constante 4,92 issue d'un résolution exacte est quasi identique à celles trouvées par la méthode approchée issue de la théorie d'affinité du champ de vitesse.


Visualisation :

Une visualisation de la ligne d'épaisseur de couche limite est donnée :
Une visualisation du profil de Blasius adimensionnalisé est donné en complément