Compléments - Modèle de Prandtl



Ce modèle est un modèle intermédiaire d'écoulements réels entre les écoulement rampant, à faible nombre de Reynolds, où les gradients de vitesse sont présents dans presque tout l'écoulement, et les écoulements de fluides parfaits, à nombre de Reynolds infini, sans présence de gradients de vitesse.


Hypothèses du modèle :

les hypothèses de Prandtl sont les suivantes :

- l'écoulement est à grand nombre de Reynolds,
- l'advection se fait suivant une direction privilégiée,
- l'épaisseur de couche limite dépend du nombre de Reynolds : δ/L = 1/Rem,
- les forces d'inertie, de viscosité et de pression sont du même ordre de grandeur dans la couche limite.


Equations de Prandtl :

Par simplification des équations de Navier-Stockes, le système se résume, dans le cas bidimensionnel plan, à :





   avec les conditions   



                  


Et on obtient la relation suivante :



La première équation indique que l'écoulement est isovolume.
La troisième équation entraine : la pression est invariante suivante la verticale à l'advection de ce type d'écoulement. La seule variation de pression est suivant le sens de l'écoulement et est due au profil de la paroi.


Remarques :

Le modèle de Prandtl se caractérise donc par une localisation dans une faible zone de l'écoulement des gradients de vitesse. C'est en cela que la définition de couche limite est intéressante : elle est la « frontière » physique entre deux zones de l'écoulement, l'une où les effets de viscosité sont importants et donc retenus et l'autre où ils sont négligeables ( hors couche limite ) et donc abandonnés.

On utilise donc la combinaison de deux modèles pour décrire les écoulements à grand nombre de Reynolds :

- le modèle de Prandtl pour décrire l'écoulement dans la couche limite
- et le modèle d'Euler (fluide parfait) pour décrire l'écoulement hors de la couche limte.

Ceci permet alors la détermination de la pression et le calcul d'effort par la méthode d'Euler : la pression dans la couche limite P(x) est la pression à l'extérieure Pe(x) qui est régie par l'équation de Bernouilli Pe(x)+1/2ρVe²(x)=cte.