Compléments - Théorie des efforts exercés par un écoulement potentiel :cas d'un écoulement uniforme autour d'un cercle.



Théorème de Kutta-Joukowsky

Un écoulement est défini par une fonction potentielle.
Prenons la fonction potentielle simple qui présente un écoulement uniforme d'incidence α de vitesse V, une source de débit D et un tourbillon de circulation Γ appliqués au même point zo :



Les efforts exercés par le fluide en écoulement potentiel sur la surface fermée fictive générée par cet écoulement (surface fermée délimitée par la ligne de contact des deux fluides (ligne de courant)) sont alors :
- une force de portance de -ρVΓS
- une force de trainée de ρVDS
avec S la surface apparente de l'obstacle à l'écoulement et V la norme de la vitesse de l'écoulement uniforme. Dans le cas particulier d'un obstacle cercle ( théorème de Kutta-Joukowsky ), ces deux efforts se réduisent uniquement à un effort de portance de -ρVΓS.


Remarques

- Cas général :
Ces formules sont généralisables par des calculs intégraux pour le cas d'écoulement amont autre que uniforme et des obstacles non concentrés en un seul point zo par la formule :



où C est le contour fermé généré par la ligne de contact des deux fluides, X et Y sont respectivement les forces de trainée et portance du fluide sur la surface fermée de contour C.


- définition de Γ :
La circulation Γ de l'écoulement est liée à la vitesse de rotation w de l'obstacle par la relation :



où C est le contour fermé de la surface de l'obstacle.



Γ est positif dans le sens trigonométrique lorsque la configuration est la suivante : ici Γ<0 crée une élévation de l'obstacle vers le haut (portance positive) sous l'action d'un écoulement fluide amont de vitesse V∞.


- origine des efforts :
Ces deux forces sont des forces de forme, c'est à dire dues aux champ de pression : aucun effort visqueux n'est créé par de tels écoulements même si la dynamique du fluide semble celle d'un fluide réel.