Exemple d'un écoulement potentiel complexe : contournement d'un cercle



De part leurs propriétés d'additivité, les fonctions potentielles permettent par sommation de créer de nouveaux écoulements. Le contounement d'un cercle est l'un d'entre eux. Celui-ci est obtenu par l'addition des écoulements uniforme, puits, source et tourbillon. Les différentes étapes de son élaboration sont les suivantes :

- la sommation des fonctions puits et source au même point zo crée une nouvel écoulement nommé doublet dont la fonction est :

- l'obstacle circulaire est alors obtenu par addition des fonctions doublet et uniforme : cet obstacle est fictif, la circonférence de ce dernier étant la ligne de contact entre les 2 types d'écoulement

la fonction est :



où α est l'angle de l'écoulement uniforme amont par rapport à l'horizontale, Vo la vitesse amont de l'obstacle et zo le centre du cercle de rayon a.
- enfin l'ajout de la fonction tourbillon en zo crée une circulation de l'écoulement qui physiquement se traduit par une rotation de l'objet.



avec Γ = 2Πa²ω où ω est la vitesse de rotation du cylindre dans notre cas particulier.
Commentaires : les écoulements potentiels sont des écoulements de fluide parfait (cf complément) : ils ne devraient donc pas suivre le mouvement d'un cylindre, caractéristique d'une adhérence due à la viscosité. La fonction tourbillon permet de simuler dynamiquement cette adhérence alors qu'elle n'existe pas : les deux fluides glissent bien l'un sur l'autre à la surface du cylindre.