Compléments - Fonction potentielle



Les hypothèses des écoulements potentiels sont les suivantes :

– isovolume : et donc il existe ψ telle que , les courbes ψ=cte définissant les lignes de courant du fluide.
– irrotationnel : et donc il existe φ telle que , les courbes φ=cte définissant des lignes équipotentielles orthogonales aux lignes de courant.
– bidimensionnel plan : Vz = 0 , d/dz = 0 et seule la composante ψz # 0
– fluide parfait : ν = 0
– permanent : d/dt = 0
– incompressible : ρ=cte


Les 3 premières hypothèses aboutissent finalement aux équations :

  et  


ce qui permet de définir une fonction potentielle complexe :



avec z la variable complexe : z=x+iy.
L'hypothèse écoulement permanent réduit la fonction précédente à la seule variable z.

On définit la fonction vecteur vitesse complexe par dérivation :

  soit  


Ces fonctions mathématiques assurent la propriété d'additivité : la somme de fonctions potentielles génère une nouvelle fonction potentielle. Celle-ci définit donc un nouvel écoulement potentiel dont le champ de vitesse est alors la somme des champs de vitesses des écoulements précédents .

La conditon fluide parfait non encore utilisée n'intervient que pour définir les conditions aux limites : en effet les 3 premières hypothèses éliminent le terme visqueux des équations de Navier- Stockes (), ce qui diminue le degré de l'équation (de 2 à 1) et donc le nombre de conditions à la limite nécessaire : il n'en faut plus qu'une. Or un fluide réel en impose deux : adhérence du fluide sur une paroi solide et non pénétration du fluide à travers une paroi solide ( à la paroi). Pour des raisons de primosité physique de l'une sur l'autre, on ne garde que la non pénétration. Ainsi les hypothèses écoulements potentiels imposent le choix d'un fluide non visqueux, c'est à dire parfait.

Par les conditions énoncées, le champ de pression se déduit alors du champ de vitesse par le thèorème de Bernouilli : P/ρ+V²/2+U=0 avec U potentiel des forces extérieures : )