Compléments - Transformation conforme



Définition :

Une transformation conforme est une application qui transforme l'affixe complexe z d'un point du plan original (générateur) en un point dans le plan image d'affixe Z.
Elle respecte certaines propriétés : la fonction f : z->Z est définie, continue, bijective, holomorphe et à dérivée non nulle sur le domaine d'étude du plan original.


Transformée de Joukowsky :

La transformée de Joukowsky (Z=z+k²/z) n'est pas définie, à dérivée non nulle et bijective sur tout le domaine du plan générateur. Dans le cas particulier qui nous intéresse, elle l'est sur le domaine complexe C excluant le cercle centré de rayon k.
Un cercle centré de rayon a>k engendre alors une ellipse de demi grand axe 2k.



Bien que la singularité du point k pose problème (dérivée nulle), elle engendre un point de rebroussement dans le profil elliptique, créant ainsi la caractéristique d'un profil à pointe (courbe à ossature elliptique au bord d'attaque et pointu au bord de fuite).



C'est pour cela que le cercle générateur du profil de Joukowsky est un cercle de rayon a>k qui coupe l'axe réel au point singulier k :

- une augmentation du rayon a jouant sur la dimension du profil de Joukowsky (allongement)
- un décalage x0 du cercle suivant l'axe réel joue sur son épaississement
- un décalage y0 du cercle suivant l'axe imaginaire sur la cambrure.

Ainsi le point k est déterminé à partir des caractéristiques du cercle (rayon a et centre (x0,y0)) par la relation :


Caractéristiques :

Ces conditions assurent des relations liant les vitesses complexes :



(W et w sont les vitesses des plans respectifs image et original)
et les angles (conservation des angles) entre les deux plans, définissant ainsi dans le plan image un nouvel écoulement qui vérifie les conditions d'un écoulement potentiel, donc défini par une fonction potentielle.
Cet écoulement généralement plus complexe est alors totalement défini par celui plus simple du plan générateur. Notamment l'effort exercé par l'écoulement image sur le profil image est l'effort exercé par l'écoulement original sur le profil générateur.


Remarques :

- point de rebroussement :
Le problème de dérivée nulle de la transformée au point k est un problème singulier qui n'entraine qu'une vitesse W(Z) infinie au point image Z=2k, ce qui n'est pas possible physiquement. Cependant, ce problème est outrepassé en imposant la condition de Kutta.

- effort sur le profil de Joukowsky :
La portance et la trainée du profil de Joukowsky sont celles du cercle générateur. Par le théorème de Kutta-Joukowsky et la condition de Kutta, on en déduit :

    - une trainée nulle
    - une portance de module Fp : 4π ρV²a |sin(α-β)| L où L est la longueur du cylindre

On définit alors un coefficient de portance Cz par Cz = Fp/(1/2 ρ S V²) avec S, surface de référence du profil.
On approxime cette surface pour des profils minces par une plaque plane de surface 4aL (4a étant la corde approchée du profil).
On a alors : Cz=2π sin(α-β).