Lignes particulières d'un écoulement



On se place pour raisonner dans un domaine O de l'espace, et un écoulement y sera caractérisé par son champ de vitesse .On se place alors dans le repère orthonormé usuel, on a ainsi
= =





Ligne de courant
Une ligne de courant est une courbe dont la tangente en chacun de ses points est, à chaque instant, colinéaire au vecteur vitesse LOCAL du champ de l'écoulement. En se plaçant toujours dans ce même repère orthonormé, l'équation différentielle caractérisant une ligne de courant est alors :.
(en se plaçant à un instant t fixé). On pose alors que ces rapports correspondent à la différentielle dß, ß correspondant à un réel quelconque. POUR TOUT INSTANT, les lignes de courant passent par le point pour ß=0 sont donc les courbes
.

Il y a donc deux paramètres qui font varier ces courbes, en effet elles varient dans l'espace à travers le paramètre ß, et dans le temps à travers la variable temporelle t. La ligne de courant est relative à un même instant mais regroupe des particules différentes.





Trajectoire
Une trajectoire est la courbe décrite au cours du temps par une particule fluide quelconque du champ de l'écoulement. En se plaçant toujours dans le même repère, la mise en équation est la suivante :

Contrairement à la ligne de courant qui regroupe plusieurs particules différentes à un même instant, la trajectoire qu'une seule particule à des instants différents. En régime permanent, il n'existe alors plus qu'un seul paramètre, ligne de courant et trajectoire sont alors confondues.





Ligne d'émission
Une ligne d'émission est, pour un instant t donné et un point de l'espace donné, le lieu géométrique que représente toutes les particules des qui sont toutes passées à un instant antérieur à l'instant t par ce même point fixe de l'écoulement. En se plaçant toujours dans le même repère, la mise en équation est la suivante :

Donc lorsque t est fixe et que .décrit l'intervalle [ [ ces équations sont celles de la ligne d'émission relative au point