Mise en équation



Problématique générale

On va tout d'abord effectuer quelques hypothèses préliminaires : On va utiliser les variables d'Euler (x,y,z,t) pour décrire le champ d'écoulement. C'est à dire qu'on « regarde ce qu'il se passe » en un point M(x,y,z) à un instant t sans savoir quelle paricule passe par ce poin, par opposition au point de vue lagrangien pour lequel on suit la particule passant par le point M à l'instant t dans son mouvement. On considérera une fonction F de (x,y,z,t) quelconque (intégrale, scalaire, vectorielle, tensorielle...) et on va chercher à exprimer la variation de cette fonction au cours du temps, et ce par rapport au déplacement de la particule fluide considérée. Un tel raisonnement fait appel à la notion de dérivée particulaire.

Dans l'ensemble des bilans suivants nous allons considéré le système compris dans le domaine (fini!!) fluide D(t), délimité par la surface S(t). On se place à un instant t donné et l'on va procéder à un suivi lagrangien dans la mesure où l'on va suivre ce domaine dans son mouvement. Tout point de la surface S(t) limitant le domaine sera animé de la vitesse locale






Bilan de masse et équation de continuité :

La masse du domaine D(t) se conserve dans le temps, ainsi à l'instant t on aura le terme
constant d'où
.

Grace aux outils mathématiques développés en Mécanique des Fluides il vient :
On peut alors en déduire l'équation de continuité locale (donc pour ).





Bilan de quantité de mouvement :

En ce qui concerne la résultante, la formulation intégrale est

et la formultation intégrale des moments fournit :

En ce qui concerne la première équation, le passage à la limite on a alors
on peut alors détailler les forces exercées comme il suit :
  • terme de forces d'inertie
  • forces extérieures de volume
  • forces extérieurs de pression
  • forces extérieures de viscosité






  • Bilan local d'énergie cinétique :
    L'énergie cinétique volumique a pour expression d'où pour le domaine D(t) une énergie cinétique du fluide pour une équation bilan locale le terme de gauche correspond à la variation particulaire d'énergie cinétique et le terme de droite à la puissance des forces de volume et de surface internes mais aussi externes, le tout par unité de volume.