Compléments - Cas d'un écoulement de Couette cylindrique



Visualisation expérimentale des différentes transitions vers la turbulence :

En augmentant la vitesse de rotation du cylindre intérieur, le désordre s’installe à travers plusieurs transitions successives. On observe tout d’abord l’apparition de cercles puis l’apparition de tranche de fluide (structure spatialement périodique en rouleaux toriques et vitesse orthoradiale). En augmentant à nouveau la vitesse, on observe des oscillations limites avec apparition de courants de retour (oscillations des rouleaux toriques autour du plan diamétral de symétrie). Enfin pour des vitesse de rotation élevées, on atteint le régime turbulent avec une désorganisation complète au sein du fluide.

 
Fluide 1
( 50% glycérine)
Fluide 2
(80% glycérine)
Mise en rotation du fluide par viscosité
Apparition d'anneaux sur le cylindre intérieur
Apparition des rouleaux
Oscillation des rouleaux
Apparition de la turbulence


Viscosité du fluide 1 (50% de glycérine) : ν1 = 3.8*10-5 m²/s
Viscosité du fluide 2 (80% de glycérine) : ν2 = 3.2*10-4 m²/s


Nombre de Reynolds de transition :

Le caractère instable de l’écoulement peut être caractérisé par une augmentation du nombre de Reynolds de l’écoulement :



avec pour échelle de longueur l’entrefer entre les deux cylindres a et pour échelle de vitesse ω R où ω est la vitesse de rotation du cylindre intérieur et R le rayon de ce dernier.


Caractérisations des régimes par le nombre de Reynolds :

 
Fluide 1
(50% glycérine)
Fluide 2
(80% glycérine)
Mise en rotation du fluide par viscosité
0< Re1< 12
0< Re2< 4
Apparition d'anneaux sur le cylindre intérieur
Re1 = 46
Re2 = 12
Apparition des rouleaux
Re1 = 60
Re2 = 15
Oscillation des rouleaux
Re1 = 320
Re2 = 40
Apparition de la turbulence
Re1 = 760
Re2 = 182


Données :

- Entrefer entre les deux cylindres : a=15 mm
- Rayon du cylindre intérieur : R=25 mm
- Viscosité du fluide 1 (50% de glycérine) : ν1 = 3.8*10-5 m^²/s
- Viscosité du fluide 2 (80% de glycérine) : ν2 = 3.2*10-4 m^²/s


Commentaires :

L'apparition de la transition a été étudiée et quantifiée, notamment par Taylor. Ce dernier a montré que le début de désorganisation de la géométrie de l'écoulement (les rouleaux périodiques suivant z, nommés cellules toriques de Taylor ) apparaissent lorsque :

 , soit Re>60 dans le cas présent.


Ceci est exactement le cas pour le fluide 1 (peu visqueux) et l'ordre de grandeur (Re2=15) pour le fluide 2 (très visqueux) de cette expérience.

Ce nombre de Reynolds peut s’interpréter comme le rapport des forces d’inertie sur les forces de viscosité. On observe en particulier dans le cas de l’écoulement de Couette, que les forces d’inertie augmentent l’instabilité et donc que ces forces (centrifuges ici) sont déstabilisatrices ; au contraire les forces de viscosité diminuent l’instabilité car s’opposent au mouvement du fluide et ont ainsi tendance à le ralentir.

Plus le nombre de Reynolds augmente plus le temps de diffusion est grand, c’est à dire que les particules fluides mettront plus de temps pour parcourir un même trajet. Cela signifie aussi que les forces de viscosité deviennent de plus en plus négligeables devant les forces centrifuges. Ainsi on peut effectuer la classification suivante : Tdl < Tdtl < Tdt . Au démarrage, en régime laminaire le phénomène prépondérant est la diffusion pour mettre en mouvement le fluide, puis en régime instable laminaire les forces centrifuges prennent le dessus d’où un caractère moindre de la diffusion ; enfin en régime turbulent les forces centrifuges sont les principaux éléments moteurs.

Les zones d’influence prépondérante des forces visqueuses se situe en r=R (ces forces permettent la mise en mouvement du fluide), pour les forces d’inertie c’est en r=R+a (les forces d’inertie sont fonction croissante de la distance à l’axe de rotation).


Conclusion :

L’origine de la turbulence est la création au sein du fluide d’un déséquilibre entre forces stabilisatrices et forces déstabilisatrices, c’est à dire entre forces de viscosité et forces d’inertie qui imposent au régime fluide une désorganisation profonde : il y a coupure avec le régime stable et organisé laminaire.
Les manifestations de la turbulence sont principalement caractérisées par des mouvements tourbillonnaires en son sein.