Influence des conditions initiales



Description générale :

Une caractéristique des écoulements turbulents est la grande sensibilité aux conditions initiales. De ce fait, on ne peut déterminer exactement le champ de vitesse en un point et à un instant donnés d'un écoulement turbulent.
On parle alors d'écoulement chaotique : l'écoulement dépendant fortement de changements infimes, non prédictible et non contrôllable des conditions initiales de l'écoulement (nature du fluide, nature et géométrie des parois, valeur de grandeurs physiques telles que la vitesse, la température...).


Les attracteurs :

Les écoulements en mécanique des fluides sont donc généralement des systèmes chaotiques car dans la majorité des cas le régime est turbulent.
On rencontre parfois également des systèmes "moins" chaotiques : ce sont les attracteurs. Lorenz fut le premier à les étudier (attracteur de Lorenz). Certains de ces attracteurs sont définis par des équations différentielles non-linéaires mais déterministes, au sens où l'on connaît explicitement les coefficients ( constants ou suivants une loi déterminée, en fonction du temps par exemple ) de l'équation. La mise en place d'attracteur analogique (Lorenz) a permis une visualisation aisée de ce phénomène de pôle de solutions : les solutions de l'équation décrivent aléatoirement une zone du plan de phase. Les possibilités numériques permettent maintenant d'en créer d'autres : l'attracteur de Hénon en est un.


L'attracteur de Hénon :

Nous étudions ici l'attracteur de Hénon. Il est défini par la suite récurrente suivante :



où α et β sont des constantes.

La particularité de cette suite est la suivante. La zone où est placée la condition initiale détermine deux types de solutions :

- le système est chaotique
- tous les points de la suite vont se situer, à partir d'un certain rang, dans une zone du plan, et ce de manière aléatoire. D'où le nom d' "attracteur".