Hydrodynamique de l'écoulement

Le but de cette étude est de trouver un lien entre la géométrie de l'écoulement (re-circulation, tourbillons, vagues,...) et la dispersion axiale en s'appuyant sur l'article  
de King, Rudman et Rowland. Cette étude est en faite un aboutissement de nombreux travaux effectué depuis une dizaine d'années. 

Grandeurs  caractéristiques

L'écoulement de Taylor Couette présente plusieurs symétries d'écoulement. Elles peuvent être simplement géométrique (rotation, translation). Ou bien, elles sont plus subtiles et s'appuient sur la symétrie générée par la vorticité . Une symétrie intrinsèque aux équations de mouvement du fluide est une symétrie dynamique.
 
Grâce aux équations de Navier et Stokes, il est possible de sortir des grandeurs caractéristiques des symétries naturelle et dynamique.
En se focalisant sur la régions ou les particules ont une trajectoire chaotique, on peut mesurer leur déviation par rapport à la symétrie de rotation. Il en sort la grandeur $\varphi_{\theta}(\textbf{x})$ :
\begin{eqnarray}
\varphi_{\theta}(\textbf{x})= |(\frac{\partial u(\textbf{x})}{\partial \theta}, \frac{\partial v(\textbf{x})}{\partial \theta},\frac{\partial w(\textbf{x})}{\partial \theta})|\\
\end{eqnarray}

De plus la déviation des symétries dynamiques est mesurée par les forces de viscosités. Le Laplaciene $\varphi_{v}(\textbf{x})$ de la vitesse qui tient compte de la flexion de l'écoulement (flexion-free flow).
\begin{eqnarray}
\varphi_{v}(\textbf{x})= |\frac{1}{Re} \nabla^2 \textbf{u(x)|}
\end{eqnarray}

Dans le but d'avoir une vue plus globale de ces grandeurs, il semble impératif de les intégrer sur tout le domaine ainsi que de les moyenner :

\begin{eqnarray}
\bar{f}= \frac{1}{V} \int_{R_i}^{R_e}\int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{H} f(r,\theta,z) r dr d\theta dz
\end{eqnarray}

Où :

  • $R_{i} $ est le rayon interne 
  • $R_e$ est le rayon externe  
  • $H$ est la hauteur de la colonne
  • $V$ est le volume de la colonne

Pour chaque nombre de Reynolds, Les champs de vitesses initiales cylindriques sont issus des simulations de JADIM. On calcule $\varphi_{v}(\textbf{x})$  et $\varphi_{\theta}(\textbf{x})$  pour chaque cas en utilisant le logiciel Matlab où l'implémentation de ces deux grandeurs a été faite.

 

Développement de l'algorithme et de cas tests
 
Deux programmes matlab indépendants ont été développés pour calculer $\varphi_{v}(\textbf{x})$ et $\varphi_{\theta}(\textbf{x})$.
 
Tout d'abord ils appellent un autre programme (lecture.m) qui transforme les données de JADIM en vecteur vitesse et position. Puis on demande le fichier à lire, c'est à dire le dernier fichier de simulation ou sont écrit les résultats. Une fois ce fichier chargé, le programme calcule les dérivées et le Laplacien en cylindrique. Voici les équations en cylindrique :
 

\begin{eqnarray}
\varphi_{\theta}(\textbf{x})= |(\frac{1}{r}\frac{\partial u(\textbf{x})}{\partial \theta}, \frac{1}{r}\frac{\partial v(\textbf{x})}{\partial \theta},\frac{1}{r}\frac{\partial w(\textbf{x})}{\partial \theta})|\\
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}
\nabla^2 \textbf{u(x)}=  \frac{\partial}{\partial r}(\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(r U_r))+ \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 U_r}{\partial \theta^2} + \frac{\partial^2 U_r}{\partial z^2}
-\frac{2}{r^2}\frac{\partial U_{\theta}}{\partial \theta}
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
\frac{\partial}{\partial r}(\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(r U_{\theta}))+ \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 U_{\theta}}{\partial \theta^2} + \frac{\partial^2 U_{\theta}}{\partial z^2}
-\frac{2}{r^2}\frac{\partial U_r}{\partial \theta}
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}
\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(r \frac{\partial U_z}{\partial r})+ \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 U_z}{\partial \theta^2} + \frac{\partial^2 U_z}{\partial z^2}\\
\end{eqnarray}


Par la suite, des test ont été effectués pour valider les programmes. Un maillage régulier a été créé et des dérivée ont été testé une par une. C'est à dire que sur chaque coordonnée des vitesses dépendant successivement de r, $\theta$ et z ont été codé. Il a donc été possible pour chaque cas de vérifier la dépendance de la dérivée partiel à chaque coordonnée.