Modèles de thermohydraulique

 

     Afin de modéliser au mieux les phénomènes thermo-hydraulique, nous avons utilisé différents modèles diphasiques. De par les résultats des études préliminaires, l'écoulement en entrée de l'évaporateur est supposé annulaire avec le gaz circulant au milieu de la conduite et le liquide se situant au niveau de la paroi. La chaleur émise par les composants électroniques va faire changer de phase le liquide. Le titre de vapeur va ainsi croître et la vitesse superficielle de gaz va augmenter. De part la différence de vitesse entre le gaz et le liquide, il va y avoir un arrachement des gouttelettes de liquide au niveau de l'interface entre les deux phases à partir d'une vitesse superficielle critique $~j_{v~critique}$. Nous avons utilisé pour cela le modèle de Sawant pour représenter ce phénomène. D'un point de vue purement thermique, nous nous sommes placés dans un régime d'ébullition saturée et avons modélisé le coefficient d'échange thermique de Kandilkar et de Chen. Nous avons modélisé les frottements interfaciaux avec le modèle de Wallis et les frottements pariétaux avec les modèles de Lockart-Martinelli et de Barockzy. Nous noterons également qu'un modèle de perte de charge singulière au niveau des coudes (valide en apesenteur) à été implémenté.

     Au fur et à mesure de l'augmentation du titre de vapeur, le film liquide présent sur la paroi va diminuer jusqu'à devenir de l'ordre de grandeur de la taille des rugosités de paroi. Nous avons alors utilisé un modèle homogène. Enfin, lorsque le titre de vapeur est unitaire,  nous avons utilisé un modèle monophasique.  Une présentation résumé de l'utilisation des modèles est disponible dans l'onglet ''développement du programme''.

    Modèles Hydrauliques

 

     Modèle annulaire

     Nous utilisons le modèle annulaire lorsque le gaz circule au milieu de la conduite et que le liquide est présent sous forme de film au niveau des parois.

Schéma représentatif de l'écoulement annulaire dans un tube

Suivant la valeur de la vitesse superficielle du gaz, on a ou pas arrachement de gouttelettes de liquide. Pour le calcul de $j_{critique}$, nous avons pris le modèle de Pan et Harranty [5] spécifiant :

  • $J_{vcritique} = \large \frac {\sqrt {d} {\left(\large {\rho _l \rho _v}\right)^{0,25}}}{\sqrt {\sigma} } = 40 $

           Modèle sans arrachage

      Le modèle annulaire sans arrachage est constitué de deux équations de quantité de mouvement ainsi que de l'équation de conservation de l'enthalpie. Ce système nous permet de déterminer le gradient de pression, l'évolution du taux de vide ainsi que le titre du fluide réfrigérant.

Equation 1 : $\large\frac{dRg}{dz}$ $G² ( \large {\frac{R_l x²}{\rho_g Rg²}}+\frac{R_g(1-x²)}{\rho_l R_l ²})= - \frac{\tau _ig 4}{D} $ $\sqrt R_g + R _g \large\frac{\tau _p 4}{D}$ $ - (\rho _l - \rho _g) R_g R _ l g  + G² \large\frac {dx}{dz} (\frac {2 x R_l}{\rho _g R_g}+\frac {(1-x)(2Rg-1)}{\rho _l R_l})$

           Note : Dans notre cas,  $(\rho _l - \rho _g) R_g R _ l g=0$

Equation 2 : $\large\frac {dp}{dz}=- \frac {d}{dz} \frac {G² x²}{\rho _g R_g} - \frac {d}{dz} \frac {G²(1-x)²}{\rho _l R_l} +\frac{\tau _p 4}{D} $ $- (\rho _g R_g + \rho _l R_l)g$

           Note : Dans notre cas, $(\rho _g R_g + \rho _l R_l)g$

           Note : La modélisation du frottement pariétal $\tau _p$ et interfacial $\tau _i$ est présenté dans la partie ''Compléments de modèles''

Référence : [1]

          Modèle avec arrachage

     Le modèle avec arrachage suit le même principe de résolution que le modèle sans arrachage. On adjoint également le terme d'entraînement E. On modélise ainsi le système de la manière suivante :

Equation 1 : $\large\frac {d}{dz} $ $ \large [\frac {G² x }{\rho _g R _g}$ $ (x+(1-x)E)]=-R _g (1+\large\frac {\rho _g}{\rho _l}\frac {1-x}{x}$ $ E) \large\frac {\partial p}{\partial z} -$ $\rho _g R_g (1+\large\frac {1-x}{x} $ $E) g + \dot M_l U_i +\large\frac { \tau_i ' 4}{D}$ $ \sqrt {R _g}$

 

Equation 2: $\large\frac {d}{dz}[\frac {G²[(1-x)(1-E²)]²}{\rho_l R_{lF}}]$ =$ -R_{IF} \large\frac{dp}{dz}$ $ - \rho_l R_{IF} g$ $ \large\frac{-\tau_i 4}{D} \sqrt R_g$

Note : La modélisation du frottement pariétal $\tau _p$ , du frottement interfacial $\tau _i$ et le taux d'entraînement E est présenté dans la partie ''Compléments de modèles''.

Note : Les termes faisant intervenir la gravité ne sont pas pris en compte dans notre cas d'étude.

Référence : [1]     

      Modèle homogène

     Le modèle homogène est valable dans le cadre d'écoulements dispersés avec faible vitesse de glissement du gaz par rapport au liquide. Ce modèle est basé sur l'hypothèse que la vitesse du gaz est égale à la vitesse du liquide soit Ul=Ug=Um.

     Dans notre configuration, nous utilisons le modèle homogène lorsque le modèle annulaire n'est plus valable, ie, lorsque le film de liquide à une épaisseur inférieure à la rugosité de la paroi. Lorsque le titre de vapeur atteint l'unité, nous utilisons alors le modèle monophasique.

Equation 1 :$\large \frac {\partial {\rho _m U_m}}{\partial {t}} $ $+ \large \frac {\partial {\rho _m {U_m}^2}}{\partial {z}} $ $=$ $\large \frac {\partial {G}}{\partial {t}} +$ $\large \frac {\partial}{\partial z} $ $\large \left(\frac {G^2}{\rho _m} \right) $ $=$ $-\large \frac {dP}{dz} $ $+ \large \frac {\tau _p S_p}{A} $ $- \rho _m g sin(\theta) $

Equation 2 : Ug=Ul soit  $ \large \frac {G x}{\rho _g R_g}$ $=$ $\large \frac {G(1-x)}{\rho _l (1-R_g)} $ 

Référence : [1]

 

      Modèle monophasique

     Les évolutions de notre cahier des charges qui impose à présent un titre massique de 1 en sortie du dernier composant, nous conduit à utiliser un modèle monophasique afin de déterminer les pertes de charges.

Les pertes de charges sont modélisés par la relation suivante :

  • $ \large \frac {dp}{dz} $ $=\large \frac {4\tau_p}{d} $
  • avec $ {\tau_p}=-0,5*fc{{\rho} _g}{U_g}^2$

Référence : [1]

 

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Compléments de modèle

     Frottement pariétal

          Modèle de Lockart & Martinelli

          On utilise le modèle empirique de L&M[1] afin de déterminer le frottement pariétal ainsi que le coefficient de frottement pariétal liquide/gazeux. Pour cela, on modélise le gradient de pression par frottement à partir des multiplicateurs de Martinelli.

On calcule d'abord le nombre de Reynolds de chaque phase :

$~~~~~$ $ Re_l= \large \frac {j_l d \rho _l}{\mu _l} $    $~~~~ Re_g=\large  \frac {j_g d \rho _g}{\mu _g} $

On en déduit la valeur du paramètre C en fonction du régime des phases liquides et gazeuses :

Liquide Gaz C
Turbulent Turbulent 20
Laminaire Turbulent 12
Turbulent Laminaire 10
Laminaire Laminaire 5

     Le régime laminaire étant défini pour un Reynolds inférieur à 2000 et le régime turbulent est défini pour un Reynolds supérieur à 3000. Dans la zone de transition, il n'y a donc pas de corrélation. Dans nos simulations, le changement de régime occasionnait des discontinuités dans l'expression de la contrainte de frottement diphasique. Le problème a été résolu en effectuant un lissage des valeurs de C. Cette interpolation linéaire de C est une fonction de log(Rel) et/ou log(Reg). Lorsque une seule des deux phases est dans la zone de transition (cas le plus fréquemment rencontré), l'interpolation linéaire de C est de type C(Rel)=a*log(Rel)+b ou C(Reg)=a'*log(Reg)+b'. A titre d'exemple, dans le cas ou le gaz est en régime turbulent et le liquide en régime de transition, la corrélation utilisée est :

$~~~~~$ $ C(Re_l)=\large  \frac {20-12}{log(3000)-log(2000)} $ $ (log(Re_l)-log(2000))+12 $

     Dans le cas ou les deux phases sont en zones de transition, on utilise deux interpolations linéaires de C du type C(Rel, Reg)=a*log(Rel)+b*log(Reg)+c, une pour le cas Rel>Reg et l'autre pour le cas Rel<Reg.

     En fonction du régime, on en déduit le coefficient de frottement :

$~~~~~$ $f _{pl}=K \large \left( \frac{j_l D_h}{\nu _l} \right) ^{-n}  ~~~~ $ $f _{pg}=K \large \left( \frac{j_g D_h}{\nu _g} \right) ^{-n}$

avec

  • K=16, n=1 en écoulement laminaire
  • K=0.0079, n=0.25 en écoulement turbulent

On calcule ensuite le gradient de pression :

$~~~~~$ $ \large \left (\frac {dp}{ dz} \right)_l  = \frac {\tau _{pl} S_p}{A  \phi ²_l}$ $~~~~$ $ \large \left (\frac {dp}{ dz} \right)_g  = \frac {\tau _{pg} S_p}{A  \phi ²_g}$

On calcule ensuite le paramètre de Martinelli :
$~~~~~$ $\phi _l ^2= (1+\large \frac {C}{X} $ $+ \large \frac {1}{X²})$  $~~~$ et $~~~$  $\phi_g ^2=(1+CX+X²)$

On en déduit alors le frottement pariétal

$~~~~~$ $\tau _p =  {\phi _l}² \large \left (\frac {dp_l} {dz} \right) _l~ \frac {A}{S_p}$

Référence : [1]

          Modèle de Baroczy

     La corrélation de Baroczy consiste à exprimer la perte de charge par frottement diphasique en fonction de la perte de charge par frottement (dP/dz)fL0 que l’on aurait si la phase liquide s’écoulait seule avec le même débit de masse que l’écoulement diphasique, M. Pour cela, il faut pouvoir exprimer le coefficient multiplicatif ΦL0 définit de la manière suivante :

$~~~~~$ $  {\phi _{lo}}^2= $ $ \large \frac {(dp/dz)_f}{(dp/dz)_{flo}} $

    Pour cela on va utiliser aussi la perte de charge par frottement (dP/dz)fV0 que l’on aurait si la phase vapeur s’écoulait seule avec le même débit de masse que l’écoulement diphasique et introduire la variable Y définie de la manière suivante :

$~~~~~$ $ Y^2=$ $ \large \frac {{dp/dz}_{fvo}}{{dp/dz}_{flo}} $

     Les deux phases s’écoulant seules avec le même débit de masse que l’écoulement diphasique auraient respectivement les vitesse moyennes vL = G/ρL et vV = G/ρV, à partir desquels on peut définir les nombres de Reynolds RevL et RevV. On a alors :

$~~~~~$ $ Y^2= $ $ \large \frac {(4/d)0.5 \rho _v {V_v}^2 f(Re_{vV})}{(4/d)0.5 \rho _l {V_l}^2 f(Re_{vl})} $ $= \large \frac {\rho _l f(Re_{vV})}{\rho _v f(Re _{vl})} $

     Baroczy donne une expression de ΦL0 à partir de nombreux points expérimentaux regroupant différents fluides. La corrélation qu’il obtient est graphique mais ses courbes ont par la suite été corrélées par Chisholm dans Chisholm 1973, qui a obtenu l’expression suivante :

$~~~~~$ $ {\phi _{LO}}^2=1+(Y^2-1)[Bx^{ (2-n)/2}(1-x)^{ (2-n)/(2)} +x^{2-n}] $

     n est l’opposé de l’exposant de RevL que l’on a dans f(RevL), soit n = 1 si l’écoulement liquide seul est laminaire (RevL < Re1) et n = 0.25 s’il est turbulent (RevL > Re2). Pour la zone de transition, on utilise dans le modèle la même valeur que dans le cas turbulent, soit n = 0.25. B est une variable dépendant de Y et de G dont l’expression est la suivante :

  • $ B= \large \frac {55}{G^{1/2}} $ $ ~~~~si ~~0<Y<9.5 $
  • $ B= \large \frac {520}{YG^{1/2}} $ $~~~~si  ~~9.5<Y<28 $
  • $B= \large \frac {15000}{Y^2G^{1/2}} $ $ ~~~~si ~~28<Y$

On obtient ainsi la contrainte de frottement pariétal : $ \tau _p (x) = 0.5 \rho _l {v_v}^2 f(Re_{vL}) {\phi _{lo}}^2 $

On remarque que comme pour le cas de la corrélation de Lockhart et Martinelli, τp dépend uniquement de la variable x. 

Référence : [3]

 

          Modèle de Awad

     Le modèle d'Awad est un autre modèle empirique nous permettant de déterminer le frottement pariétal. On calcule d'abord le nombre de Reynolds de chaque phase. En fonction du régime, on en déduit :

  • K=16, n=1 → écoulement laminaire
  • K=0.0079, n=0.25 → écoulement turbulent

On calcule le paramètre d'Awad :

  • $ X= \large \frac {j_l}{j_v}$ $ \large \frac{f_pl \rho_l}{\sqrt{\rho_g*f_{pv}}}$
  • $\phi_l= \left({1+{(\large \frac{1}{X^2})}^p}\right)^{1/p} $

On calcule le gradient de pression liquide : $\large \frac {dp}{{dz}_l}= $ $ \large \frac{-S_p}{A}~ \frac {f_{pl} \rho_l {j_l}^2}{2} $

On calcule le gradient de pression par frottement : $ \large \frac {dp}{{dz}_{fr}}= $ $\phi_l \large \frac {dp}{{dz}_l} $

On calcule le coefficient de frottement pariétal liquide/gaz ainsi que le diamètre hydraulique :

  • $ f_{pl} = K \left(\large \frac {j_l D_H}{\nu_l}\right)^{-n} $
  • $ f_{pg} = K \left(\large \frac {j_g D_H}{\nu_l}\right)^{-n} $
  • $ D_H= \large \frac {4 A}{S_p} $

On en déduit le frottement pariétal : $\tau _p = \large\frac{dp}{{dz}_{fr}} \frac {A}{S_p} $ 

Référence : [7]

 

          Modèle de type monophasique

     Ce modèle de frottement n'est valable que dans le cas monophasique. Il est également utilisé dans le cadre d'utilisation du modèle homogène ou l'on fait intervenir les propriétés moyennes du fluide à l'état diphasique.

On exprime le frottement pariétal de la manière suivante :

  • $ \tau _p = - \large \frac {1}{2} $ $ f _{pl} \rho _l {U_l}^2 $

Avec $f _{pl} $ le coefficient de frottement que l'on choisi en fonction du Reynolds de l'écoulement

  • $f _ {p} = \large \frac {16}{Re} ~ si~$  $Re \le 2000$
  • $f _ {p} =0.079 Re^{-0.25} ~ si~$  $Re \ge 2000$ 

Référence : [1]

 

     Frottement interfacial

          Modèle de Wallis

     Le modèle de Wallis nous permet de modéliser les frottement interfaciaux entre la phase liquide et la phase gazeuse. On a le système d'équations suivant:

$~~~~~$ $ \tau_i $ = $-0.5f_i\rho_g|U_g-U_l|(U_g-U_l)$

avec

$~~$  $ f_i= 0.005 (1+300 \large \frac {\delta}{D } ) $     $=0.005(1+150(1-\sqrt {R_g})) $

  

     Les vitesses du gaz et du liquide sont déterminés à partir des vitesses superficielles calculé à chaque pas d'espace. 

Référence : [1]

 

          Modèle de Churchill

     Le modèle de Churchill calcule le frottement interfacial de la même manière que le modèle de Wallis ci-dessus. Le coefficient de frottement fi est modélisé de la manière suivante :

$ fi=((\large \frac {8}{Re_B})^{12}$ $+\large \frac {1}{(c1+c2)^{3/2}})^{1/12} $ avec :

  • $C_1 = \left(2.457 ~ln \left( \left( \large \frac {7}{Re_B}\right)^{0.9}  + 0.27 \large  \frac {k_S}{D-2 \delta} \right) \right) ^{16} $
  • $ C_2=\large \left(\frac {37530}{Re_B}\right)^{16}$

${k_s}$ étant la rugosité à l'interface qui est tabulée[6].

${Re_B}$ est le nombre de Reynolds moyen de l'écoulement.

NOTE : les données tabulées sont insuffisantes dans le cas de couche liquide épaisse. Celles-ci ne sont sans doute pas totalement adapté au liquide réfrigérant ainsi qu'au diamètre de tube spécifiés dans le cahier des charges. 

Référence : [6]

 

 

      Modèle d'entraînement de Sawant (pour le modèle avec arrachage) 

     L'apport majeur de notre étude par rapport aux travaux déjà effectués est la prise en compte du phénomène d'arrachage. En effet nous avons déjà remarqué que notre écoulement était de type annulaire, les vitesses du film liquide et du gaz passant au centre sont dans ce cas très différentes et on constate généralement à l'interface des deux phases la formation de vaguelettes. En pratique il arrive qu'à partir de certaines vitesses de liquide ou de gaz ces vaguelettes se « cassent » et qu'une part du liquide soit « arrachée » du film sous forme de gouttelettes. Ainsi la phase gazeuse est en réalité composée de gouttelettes liquides. Ce phénomène a pour principales conséquences de modifier l'épaisseur de film liquide (et on peut alors penser que la paroi s'assèchera plus rapidement) et d'augmenter les frottements inter-faciaux liquide/gaz, la perte de charge se trouve donc augmenter.

     Notre étude a donc été d'estimer le taux d'entraînement de liquide et d'en étudier l'influence sur l'épaisseur de film et la perte de charge. Les modèles de taux d'entraînement sont encore peu nombreux et souvent adaptés à des configurations donnés, nous avons choisi le modèle de Sawant et al. (2009) validé pour des conduites verticales, à diamètre de tube et fluides équivalents à notre cas. Ainsi on a l'expression suivante de E, taux d'entraînement :

$~~~~~$ $ E= 1-( 13N_{\mu l}^{-0.5}+0.3 \large \frac {(Re_l-13N_{\mu l}^-0.5)^{0.95} }{Re_l}) $ $ tanh(2.31 10^{-4}  Re_l^{-0.35} (We-We_{cr})^{1.35})$

Avec :

  • $~~~~~$Le nombre de viscosité $~~~N_{\mu l}= \large \frac {\mu _l}{\left({\rho_l \sigma \large \sqrt {\frac {\sigma}{g \delta \rho}}}\right)^{0.5}} $
  • $~~~~~$Le nombre de Reynolds dans le film $~~~Re_l= \large \frac {\rho_l j_l D} {\mu_l} $
  • $~~~~~$Le nombre de Weber $~~~$ $ We=\large \frac {\rho _v j_v^2 D}{\sigma} $  $\large \left (\frac {\delta \rho}{ \rho_v}\right)^{1/4} $
  • $~~~~~$Le nombre de Weber critique calculé pour la vitesse de gaz minimale à partir de laquelle il y a arrachage de gouttes $ We=\large \frac {\rho _v j_{vcritique}^2 D}{\sigma} $  $\large \left (\frac {\delta \rho}{ \rho_v}\right)^{1/4} $

     Ce modèle ne devient valable qu'à partir d'une vitesse de gaz critique qui dépend des composés en question. Par manque d'information concernant notre fluide, nous avons choisis une corrélation empirique basées sur des résultats expérimentaux concernant des fluides proches du R245fa.

Référence : [4]

    Modèle de perte de charge dans les coudes

Dans la littérature, nous avons déterminé le modèle empirique suivant pour les pertes de charges dans les coudes valable en apesenteur :

$~~~~~$ $\left( \large \frac {dp}{dz} \right) _{total coude} = $ $\left( \large \frac {dp}{dz} \right) _{linéaire} = $ $\left( \large \frac {dp}{dz} \right) _{singulière}  $

Le terme de perte de charge singulière  se calcule par la relation $\left( \large \frac {dp}{dz} \right) _{singulière} = $ $a \left[ \large \frac {\rho _v {j_v}^2}{R} \right]   $ $\left[ \large \frac {{j_l}^2}{R}\right] ^b $

avec a=0.047 $s^{3/2} m^{-1/3} $ b=1/3 et R le rayon de courbure du coude

Référence : [2]

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Modèles Thermiques

    Calcul des températures

          Modèle convectif 

     Chacun des composants électroniques du satellite dégage un flux de chaleur constant. La chaleur dégagée par les composants est évacuée par vaporisation du fluide refroidissant. Notre objectif est de déterminer la température du composant. On supposera que le fluide rentre dans l'évaporateur à température de saturation et que la température du fluide reste constante tout le long de l'évaporateur. L'intégralité du flux thermique servira à vaporiser le fluide réfrigérant. Un bilan thermique local nous donne :

$~~~~~$ $ G C_p dT=q D dz$

     Pour chaque pas d'espace, on obtient alors à l'évolution de la température à la paroi. On suppose un équilibre thermodynamique entre les deux phases liquide vapeur lors du changement d'état. On accède alors à l'évolution du titre le long de l'évaporateur.

$~~~~~$ $\large \frac {dx}{dz}=\frac {4q}{m h_{lv} d} $

     On s'assurera que la perte de charge totale obtenue n'influera pas trop sur la température de saturation en sortie de manière à  ne pas dépasser une variation de la température de saturation $ \Delta T_{sat}$ de 1°C. Le cahier des charges nous associe cette limitation à la perte de charge dans notre circuit de refroidissement. Le cahier des charges nous fixe la géométrie n tubes de Zmm de diamètre.

On peut modéliser notre système suivant le schéma ci-dessous :

 

Schéma-bloc du modèle thermique

 

On en déduit à partir de l'équation de la convection:

  • $ T_{paroi }=T_{sat}+\large \frac {q}{h}$
  • $ T_{ailette}=T_p+\large \frac{q \pi d n_{tube}}{L} $ $R_{cond}$
  • $ T_{composant}=T_a+ \large \frac {q \pi d n_{tube}}{L} $ $R_{cont} $

 

 

          Modèle conductif

     Dans le cas où le film liquide a un écoulement laminaire (Rel<2000) on peut calculer la température de paroi à partir d'un modèle conductif. Ainsi on a :

$~~~~~$ $ q_p= k_l \large \frac{T_p-T_{sat}}{\delta} $

avec $\delta$ épaisseur du film et $k_l$ la conductivité thermique du fluide.

     Ce modèle n'est par contre plus valide si l'écoulement dans l'évaporateur est turbulent.

    Modèles de coefficient d'échange convectif

           Modèle de Kandilkar

   Le fluide entrant à température de saturation dans l'évaporateur, nous pouvons utilisé le modèle de Kandilkar afin de calculer le coefficient d'échange thermique h. Pour cela on calcule dans un premier temps les nombres adimensionnels suivants :

  • $ C_0=\left(\large \frac {1-x}{x}\right)^{0.8}\sqrt{\large \frac {\rho_g}{\rho_l}} $
  • $Bo=\large \frac {q}{G h_{lg}} $
  • $ Fr=\large \frac {G^2}{{\rho_l }^2 g D} $
  • $ Pr=\large \frac {\mu_l Cp_l}{\lambda_l} $

On détermine alors les constantes du modèles de Kandilkar qui ont été trouvées empiriquement :

Constante

Co<0.65 ; Région convective

Co>0.65 ; Région de l'ébullition nucléée
C1 1.1360 0.6683
C2 -0.9 -0.2
C3 667.2 1058
C4 0.7 0.7
C5 0.3 0.3

Note 1 : C5=0 pour les tubes verticaux, on se placera dans cette configuration pour notre satellite. 

             Note 2 : Fk= 1.4 pour le fluide R245fa

On calcule ensuite le terme $h_l$ : $ h_l=0.0023 \large \frac {\lambda_l} {D} \left(\frac {(G(1-x)D)}{\mu_l}\right)^{0.8}$ $ Pr^{1/3} $

On obtient ainsi le coefficient d'échange convectif par la relation : $ h=h_{l}[C_{1}C_{0}^{C_2}(25F_r)^{C_5}+C_{3}Bo^{C_4}Fk] $

Référence : [1]

           Modèle de Chen

Nous allons également utilisé les corrélations de Chen pour déterminer le coefficient d'échange thermique h qui est définit de la manière suivante :

$ h= S h_n+Fh_l $

Tout d'abord, on calcule le nombre adimensionnel X tel que : $ X=\large \frac {1-x}{x} $ $\sqrt {\large \frac {\rho_g f_{pl}} {\rho_l f_{pg}}} $

On en déduit que :

  • $ F=2.35 [0.213+\large \frac {1}{X}]^{0.736} $ $~~ pour \large \frac {1}{X} $ $ >0.1$
  • $F=1 pour $ $ \large \frac {1}{X} $ $\le 0.1 $
  • $ S=\large \frac {1} {[1+2.53. 10^{-6}(\frac {DG(1-x)}{\mu_l} F^{1.25})]^{1.17}}  $

Ensuite, on calcule $~h_n~et~h_l$ et en fixant la température à la paroi.

  • $ {\Delta} P_{sat} = \large \frac{h_{LV} * (\frac {q}{h})}{ T_{sat} *(\frac {1}{\rho_g}- \frac {1}{\rho_l})}$
  • $ h_n=0.00122 $ $[\large \frac{k_{l}^{0.79}C_{pl}^{0.45}\rho_{l}^{0.49}}{\sigma^{0.5} \mu_{l}^{0.29}h_{lg}^{0.24} \rho_{g}^{0.24}}]$ $(T_p-T_ {sat})^{0.24}({\Delta}p_{sat} (T_p))^{0.75} $
  • $h_l=0.0023~\large \frac {\lambda_l}{D} \left(\frac {G(1-x)D}{\mu_l} \right)^{0.8}$ $ Pr^{1/3}$

On résout ce système de trois équations et on en déduit la valeur du coefficient d'échange. 

Référence : [1]

 

Modèle de Dougall et Rohsenow

 

    Pour modéliser les phénomènes thermiques lors de l'utilisation du modèle hydraulique homogène, le modèle de Dougall et Rohsenow, utilisé pour les régimes d'écoulement vapeur dispersée à gouttelettes, est adapté à notre cas de figure. Lorsque x -> 1, le modèle tend vers le modèle monophasique. Ce modèle thermique présente l'avantage de pouvoir être associé tant au modèle homogène qu'au modèle monophasique. Le coefficient d'échange thermique est modélisé de la manière suivante:

   Pour modéliser les phénomènes thermiques lors de l'utilisation du modèle hydraulique homogène, le modèle de Dougall et Rohsenow, utilisé pour les régimes d'écoulement vapeur dispersé à goutelettes, adapté à notre cas de figure. Lorsque x => 1, le modèle tend vers le modèle monophasique. Ce modèle thermique présente l'avantage de pouvoir être associé tant au modèle homogène qu'au modèle monophasique. Le coefficient d'échange thermique est modèlisé de la manière suivante:

  •  $h_g=0.0023~\large \frac {k_g}{D} \left[ \left( \frac {GD}{\mu_g}\right) ~\left( x+\frac{\rho_g}{\rho_l}~(1-x) \right) \right]^{0.8}$ $ Pr^{0.4}$

Référence : [1]

 

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