Modélisation des pertes de charge par frottement

Modèles

Suite à une étude approfondie de la bibliographie des articles concernant les « two phase flow 0g » il est apparu que les modèles de Friedel, Lockhart et Martinelli, Premoli et Awad sont les plus appropriés pour les écoulements annulaires.

 

Lockhart et Martinelli  

Ce modèle est basée sur l'expression du gradient de pression par frottement dans un régime monophasique multiplié par un coefficient correcteur d'amplification selon la formule suivante:

 

$ \left(\frac{\displaystyle dP}{\displaystyle dz}\right)_{fr}= \frac{\displaystyle \tau_p S_p }{\displaystyle A} = \phi_l^2 \left(\frac{\displaystyle dP}{\displaystyle dz}\right)_l $

 

On va donc dans un premier temps s'attacher à déterminer la valeur du gradient de pression par frottement en conduite monophasique. On va avoir besoin de trouver un modèle de fermeture pour le coefficient de frottement $ f_{pl} $ :

$$ \left( \frac{\displaystyle dP}{\displaystyle dz} \right)_l = \frac { \displaystyle S_p } { \displaystyle  A }  f_{pl} \frac { \displaystyle \rho_l j_l^2 } { \displaystyle 2 } $$

où  $ f_{pl} = K \left(\frac{\displaystyle j_l D_H}{\displaystyle \nu_l}\right)^{-n} $

K=16, n=1 en écoulement laminaire (Re< 2500)

K=0,079, n=1/4 en écoulement turbulent (Re>2500)

et $ D_H = \frac{\displaystyle 4A}{\displaystyle S_p} $

 

On s'intéresse alors aux expressions conjuguées du coefficient correcteur d'amplification et du paramètre de Martinelli X:

$\phi_l^2 = \left(1+\frac{\displaystyle C}{\displaystyle X}  + \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle X^2}\right)$ avec C qui va dépendre de l'état de l'écoulement et comme on se place en écoulement  turbulent en phase gazeuse et liquide alors il vaut 20. 

$ X= \left [ (\frac{\displaystyle dP}{\displaystyle dx})_l / (\frac{\displaystyle dP}{\displaystyle dx})_g \right] ^{\frac{1}{2}} = \frac{\displaystyle j_l} {\displaystyle j_g} \sqrt{\frac{\displaystyle \rho_l}{\displaystyle \rho_g} \frac{f_{pl}}{f_pg}}$

Étant donné que dans l'article de Chen on connait les vitesses superficielles en fonction du titre massique de la vapeur, on peut tracer l'évolution des pertes de charge par frottement suivant son évolution.

Friedel

 

La méthode de Friedel est basée sur le même principe que celle de Lockhart et Martinelli où les pertes de charge par frottement en écoulement monophasique sont corrigées d'un facteur correcteur d'amplification.

$\phi_{l_0}^2=\frac{\left(\frac{\displaystyle dP}{\displaystyle dz}\right)_{fr}}{\left(\frac{\displaystyle dP}{\displaystyle dz}\right)_l}$

On calcule les pertes de charge en monophasique de la même manière que précédemment mais le coefficient correcteur a une nouvelle formule: 

$ \phi_{l_0}^2 = E + \frac{\displaystyle 3,24 F H}{\displaystyle Fr^{0,045}  We^{0,035}} $

avec les expressions suivantes:

  • $ E = (1-x)^2 + x^2 \left(\frac{\displaystyle \rho_l f_{g_0}}{\displaystyle \rho_g f_{l_0}}\right) $
  • $ F= x^{0,78} (1-x)^{0,24}$
  • $H=\left(\frac{\displaystyle\rho_l}{\displaystyle\rho_g}\right)^{0,19}\left(\frac{\displaystyle\mu_g}{\displaystyle \mu_l}\right)^{0,19}\left(1-\frac{\displaystyle\mu_g}{\displaystyle\mu_l}\right)^{0,7}$ (1-$$$$$

0        (((Pour avoir accès aux pertes de charge par frottement il ne nous manque plus que les valeurs des nombres de Froud et de Webber. Pour les calculer on s'en réfère au chapitre sur les nombres adimensionels:

$ We = \frac{\displaystyle G_T^2 D}{\displaystyle\rho_m\sigma}$      $Fr=\frac{\displaystyle G_T^2}{\displaystyle g D \rho_m^3}$

 

Ici aussi grâce aux données de Chen on a accès pour chaque x aux valeurs du débit massique surfacique GT et aux coefficients de frottement monophasiques. On trace par conséquent l'évolution des pertes de charges avec le titre massique.

Awad

Cette modélisation se base également sur l'expression des pertes de charge par frottement en fonction des pertes de charges en monophasique. Il s'agit donc d'un Lockhart et Martinelli amélioré de la forme suivante:

$\left(\frac{\displaystyle dP}{\displaystyle dz}\right)_f=\left(\frac{\displaystyle dP}{\displaystyle dz}\right)_{f,l}\left(1+\left(\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle X^2}\right)^p\right)^{1/p}$

Autrement dit on remplace le $\phi_l^2$ de Lockhart et Martinelli par l'expression $\left(1+\left(\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle X^2}\right)^p\right)^{1/p}$ où X est le paramètre de Martinelli et p est un paramètre qui dépend du diamètre de la conduite, des vitesses superficielles de liquide et de gaz, des propriétés physiques et dynamiques de ces derniers et de la gravité. Il est ajusté suivant les expériences selon qu'il minimise l'erreur RMS des facteurs correcteurs d'amplification  $\phi_l^2$.

La modélisation des pertes de charge  en monophasique $\left(\frac{\displaystyle dP}{\displaystyle dz}\right)_{f,l}$   est la même que pour Lockhart et Martinelli. On utilise donc les données de Chen pour les calculer ainsi que la valeur du paramètre de Martinelli X correspondante.