Coefficient d'échange

Plan d'études

Pour calculer le coefficient d'échange thermique local, il faut déterminer le profil de température dans le film liquide sur la paroi des tubes. La relation qui relie le coefficient local d'échange thermique pour un flux de chaleur à la paroi constant est donné par :$$ h_{loc}=\frac{\displaystyle q}{\displaystyle T_p-T_{sat}} $$ quand q est compté positivement.  $$ h_{loc}=\frac{\displaystyle q}{\displaystyle T_p-T_{sat}} $$ quand q est compté positivement. $$ h_{loc}=\frac{\displaystyle q}{\displaystyle T_p-T_{sat}} $$ quand q est compté positivement.         

$$ h_{loc}=\frac{\displaystyle q}{\displaystyle T_p-T_{sat}} $$ , quand q est compté positivement.

Dans notre situation, le chauffage est à flux constant $$ q= \frac{\displaystyle 2,3}{\displaystyle L} W.m^2 $$ pour l'équipement limitant de la zone 65°C et $$q= \frac{\displaystyle 6,3}{\displaystyle L} W.m^2 $$ pour l'équipement limitant de la zone $85°C$.

Dans le cas d'un film mince (termes convectifs négligeables), l'équation de l'énergie est $$ \rho_L Cp \left[u \frac{\displaystyle \partial T}{\displaystyle \partial x} + v \frac{\displaystyle \partial T}{\displaystyle \partial y} \right] = \frac{\displaystyle \partial}{\displaystyle \partial y} \left[ \left( \lambda_L+\lambda_t \right) \frac{\displaystyle \partial T}{\displaystyle \partial y} \right] \approx 0 \longrightarrow \left( \lambda_L + \lambda_t \right)\frac{\displaystyle \partial T}{\displaystyle \partial y}=q  $$  
Si le film est laminaire $$ q_p=\lambda_L\frac{\displaystyle T_p - T_{sat}}{\displaystyle \delta}$$
Si le film est turbulent $$ \left(a_L+a_t\right)\frac{\displaystyle \partial T}{\displaystyle \partial y}=\frac{q_p}{\rho_LCp} \longrightarrow a_L\frac{\displaystyle T_p-T_{sat}}{\frac{\displaystyle q}{\displaystyle \rho_LCp}}=\int_{0}^{\delta}{\frac{\displaystyle dy}{\displaystyle 1+\frac{\displaystyle a_t}{\displaystyle a_L}}} $$

Il faut alors trouver une relation entre le profil de diffusivité thermique turbulente et le profil de viscosité turbulente.
 

$$ \frac{\displaystyle a_t}{\displaystyle a_L}=\frac{\displaystyle \lambda_t}{\displaystyle \rho_LC_{PL}}\frac{\displaystyle \rho_LC_{PL}}{\displaystyle \lambda_L}= \frac{\displaystyle \lambda_t}{\displaystyle \mu_LC_{PL}}\frac{\displaystyle \mu_t}{\displaystyle \rho_L}\frac{\displaystyle \lambda_L}{\displaystyle \mu_LC_{PL}}\frac{\displaystyle \mu_L}{\displaystyle \rho_L}=\frac{\displaystyle \nu_t}{\displaystyle Pr_t}\frac{\displaystyle Pr_L}{\displaystyle \nu_L}=\frac{\displaystyle \nu_t}{\displaystyle \nu_L}\frac{\displaystyle Pr_L}{\displaystyle Pr_t} $$
 

On a alors, 

$$ a_L\frac{\displaystyle T_p-T_{sat}}{\frac{\displaystyle q}{\displaystyle \rho_LCp}}=\int_{0}^{\delta}{\frac{\displaystyle dy}{\displaystyle 1+\frac{\displaystyle a_t}{\displaystyle a_L}}}=\int_{0}^{\delta}{\frac{\displaystyle dy}{\displaystyle 1+\frac{\displaystyle \nu_t Pr_L}{\displaystyle \nu_LPr_t}}} $$
 

 , en prenant $q>0$ 

Le Prandtl turbulent est très proche de 1($Pr_t\approx1$), on le prendra donc égal à 1.

On a donc besoin de connaître le profil de viscosité turbulente à l'intérieur du film liquide. Nous avons gardé le profil de viscosité turbulente proposé par Ohta dans un article de 2003 ``Microgravity Heat Transfer in Flow Boiling''. Le profil de viscosité turbulente est définit de la façon suivante : 

$$  \frac{\displaystyle \nu_t}{\displaystyle \nu_L}=b^2 \left(y^+ \right)^2 $$ avec b=0,091 et $ y^+ = \frac{\displaystyle y u^*}{\displaystyle \nu_L}$ où y est la distance à la paroi, et $u^*$ est défini comme $ u^* = \sqrt{\frac{\displaystyle \tau_p}{\displaystyle \rho_L}}$ (! prendre $\left|\tau_p\right|$ pour calculer $u^*$)

Tout au long du tube, en prenant la vitesse moyenne locale et l'épaisseur locale du film, $y^+$ n'est jamais supérieur à 20. On peut donc utiliser chaque modèle valable pour des valeurs de $y^+$ inférieures à 20.

L'avantage de cette modélisation est qu'elle permet d'avoir une solution explicite de l'intégrale précédente. Ce qui donne :

$$ a_L\frac{\displaystyle T_p-T_{sat}}{\frac{\displaystyle q}{\displaystyle \rho_LCp}}=\int_0^{\delta}{\frac{\displaystyle dy}{\displaystyle 1+b^2\left(y^+\right)^2Pr_L}} $$

et

$$ \int_0^{\delta}{\frac{\displaystyle dy}{\displaystyle 1+b^2\left(y^+\right)^2Pr_L}}= \int_0^{\delta}{\frac{\displaystyle dy}{\displaystyle 1+b^2\frac{\displaystyle u^*}{\displaystyle \nu_L^2}^2 Pr_L y^2}}$$
$$ = \int_0^{\delta}{\frac{\displaystyle dy}{\displaystyle 1+B^2 y^2}}$$
$$ = \frac{\displaystyle atan\left(B\delta\right)}{B} $$ avec $ B=\sqrt{Pr_L}b\frac{\displaystyle u^*}{\displaystyle \nu_L^2}$.

Détermination du taux de vide et de l'épaisseur de film

Afin de déterminer le taux vide dans le tube, on utilise le coefficient de frottement pariétal choisi dans la partie précédente(Awad), le coefficient de frottement interfacial de Wallis pour fermé le problème, et on utilise le modèle annulaire sans arrachage qui est le plus approprié lorsqu'on étudie les propriétés d'un écoulement annulaire à faible débit massique surfacique.

Le modèle annulaire sans arrachage et un modèle à deux fluides, c'est à dire que l'on doit faire le bilan de quantité de mouvement sur chaque phase. En couplant les deux équations, on peut éliminer le gradient de pression qui est une inconnue. En différenciant cette équation, on peut déterminer un incrément du taux de vide à partir de la connaissance de la fraction massique x, du débit massique surfacique G, des modèles de frottements pariétal et interfacial, et des propriétés du fluide.

 

$$ dR_g = $$

$$ \frac{\displaystyle \frac{\displaystyle -\tau_{ig}4}{\displaystyle D}\sqrt{R_g}+R_g\frac{\displaystyle \tau_{p}4}{\displaystyle D}-(\rho_l-\rho_g)R_g(1-R_g)g+G^2\frac{\displaystyle dx}{\displaystyle dz}\left(\frac{\displaystyle 2x(1-R_g)}{\displaystyle \rho_gR_g^2}+\frac{\displaystyle (1-x)(2R_g-1)}{\displaystyle \rho_l(1-R_g)}\right)}{G^2\left(\frac{\displaystyle x^2(1-R_g)}{\displaystyle \rho_gR_g}+\frac{\displaystyle (1-x)^2R_g}{\displaystyle \rho_l(1-R_g)^2}\right)} dz  $$

La figure ci-dessous représente l'évolution du taux de vide pour un débit massique surfacique $G=78,595 kg.m^{-2}.s{-1}$, un diamètre de tube $D=12 mm$ et un flux thermique local $q=1130 W.m^{-2}$, pour trois configurations :

- en microgravité

- pour un écoulement vertical descendant en gravité normale 

- pour un écoulement vertical ascendant en gravité normale


 

La figure ci-dessous représente le taux de vide dans les mêmes conditions mais avec un débit massique surfacique $G=117,89 kg.m^{-2}.s{-1}$.

 

Le modèle annulaire et les modèles de frottement pariétal(Awad) et interfacial(Wallis) nous ont permis de déterminer le taux de vide $R_v$ donc l'épaisseur de film le long du tube chauffant. Afin de déterminer le profil de température locale à la paroi, il faut trouver le bon modèle de viscosité turbulente dans le film fluide.

Une fois le taux de vide calculer, la valeur de l'épaisseur de film peut-être déduite de manière explicite pour un modèle annulaire. L'expression de l'épaisseur de film est calculer de la façon suivante:

$$ R_g=\frac{\displaystyle \frac{\displaystyle \Pi \left(D-2\delta\right)^2}{\displaystyle 4}}{\displaystyle \frac{\displaystyle \Pi D^2}{\displaystyle 4}}=\left(1-2\frac{\displaystyle \delta}{\displaystyle D}\right)^2 $$

Cette expression nous permet d'obtenir les profils d'épaisseur de film dans les mêmes conditions que précédemment pour $G=78,595 kg.m^{-2}.s{-1}$  et pour $G=117,89 kg.m^{-2}.s{-1}$ .


G=78,595 kg/m²/s

$G=78,595 kg.m^{-2}.s^{-1}$

$G=117,89 kg.m^{-2}.s^{-1}$

Pour les faibles titres massiques, c'est à dire pour la partie gauche des profils précédents, on remarque un changement de la variation du taux de vide et de l'épaisseur de film dans le cas de l'écoulement descendant en gravité normale. Ce changement de signe est dû au fait que pour les faibles titres la vitesse du liquide réelle du liquide est supérieure à la vitesse réelle de la phase vapeur et que lorsque le titre massique vapeur augmente, la vitesse réelle du liquide devient inférieure à la vitesse réelle de la phase vapeur ce qui induit un changement de signe pour le frottement interfacial entre les phases.

C'est ce changement de signe qui est à l'origine de cette non homogénéité de l'évolution du taux de vide en écoulement verticale descendant en gravité normale. Cela disparaît lorsque l'on augmente suffisamment le débit massique pour avoir $U_L-U_G$ négatif sur toute la plage de titre massique.
 

L'objectif est d'étudier la sensibilité du coefficient d'échange thermique à différents paramètres:

- La sensibilité vis-à-vis du débit massique de fluide.

- La sensibilité vis-à-vis de la gravité. Pour cela, on comparera les résultats en microgravité aux résultats en gravité normale en utilisant la aussi un modèle à deux fluides(annulaire sans arrachage) avec les mêmes coefficients de frottement pour un tube verticale en écoulement descendant et en écoulement ascendant. On comparera aussi aux résultats obtenus avec le modèle 1g de Kandlikar qui permet de déterminer des coefficients d'échange pour une large gamme d'utilisation.

- La sensibilité vis-à-vis des modèles de fermeture de frottement pariétal et interfacial.

 

 

Etude de sensibilité sur le coefficient d'échange thermique

Sensibilité vis-à-vis de la gravité

Afin d'étudier la sensibilité du transfert thermique vis-à-vis de la gravité, on a tracé les profils de température et de coefficient d'échange thermique pour un écoulement en microgravité, pour un écoulement descendant en gravité normale et pour un écoulement ascendant en gravité normale. On a aussi comparer ces profils au profil obtenu à partir du modèle de Kandlikar. Les données correspondnat à chaque profil sont rappelées dans les tableaux qui les précèdent.

titre massique en entrée 0,3
débit massique pour 3 tubes de 12 mm en parallèle $80 g.s^{-1}$
flux thermique surfacique $\frac{\displaystyle 2,3}{\displaystyle L}\approx1130 W.m^{-2}.s^{-1}$

Les figures ci-dessous représentent l'évolution de la température et du coefficient d'échange thermique local dans un tube verticale de 12 mm de diamètre pour un débit massique surfacique $G=78,595 kg.m^{-2}.s^{-1}$

 

 

La première remarque que l'on peut faire est que le coefficient d'échange thermique local en microgravité est toujours compris entre celui en gravité normale avec un écoulement ascendant et celui en gravité normale avec un écoulement descendant. L'échange le plus efficace correspond au cas de l'écoulement descendant en gravité normale. Il est intéressant de noter que si l'on opère en gravité normale avec un enchaînement d'écoulement alternativement ascendant et descendant, le comportement en terme de coefficient d'échange global (et non pas local) se rapprochera du cas de la microgravité. On ne peut cependant pas en dire autant pour la pression qui règnera dans les tubes puisqe interviendra la pression statique.

On note également que les spécifications du cahier des charges sont respectées puisque la température locale en paroi ne dépasse pas $65°C$.

Le modèle de Kandlikar sous-estime fortement les résultats obtenus avec le modèle à deux fluides annulaire sans arrachage. Ceci est peut-être dû au fait que le modèle de Kandlikar s'applique à une large gamme de configurations d'écoulements, de fluides et de situations. C'est pourquoi il faut être vigilant sur l'utilisation de ce modèle.

 

Sensibilité vis-à-vis du débit massique de réfrigérent

On représente ici l'effet du débit massique surfacique en traçant les coefficients pour les mêmes situations mais avec un débit massique surfacique trois fois supérieur. Les données du tableau ci-dessous seront utilisées pour les trois études de sensibilité ci-dessous( débit massique, frottement interfacial et frottement pariétal).

titre massique en entrée 0,3
débit massique pour 3 tubes de 12 mm en parallèle $120 g.s^{-1}$
débit massique surfacique $G=117,89 kg.m^{-2}.s^{-1}$
flux thermique surfacique $\frac{\displaystyle 2,3}{\displaystyle L}\approx1130 W.m^{-2}.s^{-1}$

On remarque que l'effet de la gravité à tendance à s'estomper avec une augmentation de débit massique surfacique pour un même diamètre de tube. Le comportement des trois écoulements se resserent sur toute la gamme de titre massique étudiée.

L'augmentation du débit massique augmente l'efficacité du transfert thermique car en augmentant le débit massique, on augmente la valeur de $\tau_p$ et de $\tau_i$ en valeur absolue, ce qui a pour conséquence de diminuer l'épaisseur de film donc le coefficient d'échange thermique.

Pour une distance d'environ $5,5 m$ dans le tube on remarque une cassure du profil du coefficient d'échange local. Celle-ci est du au fait que l'on passe du modèle turbulent du modèle d'Awad ($Re_L>2000$), Reynolds basé sur les viteses superficielles) au modèle non turbulent ($Re_L<2000$) car la vitesse du liquide diminue jusqu'à ce que le Reynolds superficiel liquide devienne inférieur à 2000.

 

Sensibilité vis-à-vis du frottement interfacial

A partir de ce point, tous les graphiques correspondront au cas de la microgravité.

Afin d'étudier la sensibilité du coefficient d'échange thermique vis-à-vis du frottement interfacial, nous avons choisi de comparer le frottement interfacial avec le modèle de Wallis avec celui proposé par Blasius(en se basant sur le Reynolds des vitesses réelles). On a donc reporté sur le même graphe l'écart relatif entre ces deux $\tau_i$ que l'on a comparé à l'écart relatif entre les deux coefficients locaux d'échanges thermiques correspondants en microgravité toutes choses restant égales par ailleurs.

Nous prendrons un débit massique surfacique de $117,89 kg.m^{-2}.s^{-1}$ afin de rester proche des conditions d'utilisation du satelitte et pour garder un signe constant pour le frottement pariétal.

 

 

 

On voit que l'influence du frottement interfaciale est la plus forte pour les grandes valeurs de titre massique(fin du tube), c'est à dire la où les vitesses réelles de vapeur deviennent grandes devant les vitesses réelles de la phase liquide. En effet, un faible écart pour les valeurs de $\tau_i$ implique un grand écart pour les valeurs du coefficient d'échange thermique dans cette zone. Il est donc important d'avoir une bonne connaissance du profil de frottement interfacial pour les fortes valeurs de titre massique.

On fait alors la même étude pour les écarts relatifs avec le frottement pariétal cette fois.

 

Sensibilité vis-à-vis du frottement pariétal

Le modèle de frottement pariétal d'Awad semble être celui le plus approprié pour déterminer le frottement en paroi dans le cas d'un tube en microgravité nous le prenons donc comme référence(Il est à noter que nous nous sommes principalement basés sur des résultats eau-air et que le fluide utilisé dans le satelitte est un réfrigérent qui n'a pas tout à fait les mêmes propriétés).

Afin d'étudier l'influence du frottement pariétal, nous avons donc dû choisir un autre modèle de frottement en paroi. Nous avons choisi le modèle de Friedel car il sous-estime les pertes de charge par rapport à Awad. Il aura donc tendance à surestimer le coefficient d'échange thermique car il aboutit à une épaisseur de film plus faible. Toutes choses restants identiques par ailleurs.

Les figures ci-dessous montrent le profil de frottement pariétal et le profil de coefficient thermique le long du tube.

 

 

 

 

On remarque que là où le profil de frottement pariétal semble influencer le profil de coefficient d’échange thermique local correspond à la zone des faibles valeurs de titre massique car c’est dans cette zone que les profils ont la même évolution. L’écart relatif dû à l’écart sur le frottement pariétal semble être deux fois plus faible que l’écart sur les frottements pariétaux. Selon la précision souhaitée, cet écart est tout de même important.