Les nombres adimensionnels

Les nombres adimensionnels

Grâce aux données du cahier des charges nous pouvons calculer les valeurs des nombres caractéristiques du système étudié afin de les comparer avec celles issues de la littérature. Nous allons donc dans un premier temps travailler sur les équations régissant écoulements afin de déterminer quels sont les nombres importants.

 

  • Équations de bilan pour chaque phase k (l : liquide ou v : vapeur)

$ \frac {\displaystyle\partial \rho_k R_k}{ \displaystyle \partial t} + \frac { \displaystyle \partial \rho_k R_k U_k }{ \displaystyle \partial z} =  \frac { \displaystyle \partial \rho_k R_k}{ \displaystyle \partial t} + G \frac { \displaystyle \partial x_k }{ \displaystyle \partial z} =-\stackrel{.} {M}_k $

$ \frac { \displaystyle \partial \rho_k R_k U_k }{ \displaystyle \partial t} +  \frac { \displaystyle \partial \rho_k R_k {U_k}^2 }{ \displaystyle \partial z} = G \frac { \displaystyle \partial {x_k}^2 }{ \displaystyle \partial t}  + \frac { \displaystyle \partial  }{ \displaystyle \partial z} \left [ \frac { \displaystyle G^2 x_k }{ \displaystyle \rho_k R_k} \right]= -R_k \frac{ \displaystyle \partial p}{ \displaystyle \partial z}+\frac{ \displaystyle \tau_{pk}S_{pk}}{ \displaystyle A}+\frac{ \displaystyle \tau_{ik}S_{i}}{ \displaystyle A} - \rho_k R_k g sin \theta - \stackrel{.} U_i$

$ \frac { \displaystyle \partial \rho_k R_k H_k }{ \displaystyle \partial t} +  \frac { \displaystyle \partial \rho_k R_k H_k U_k }{ \displaystyle \partial z} =\frac{ \displaystyle q_{pk}S_{pk}}{ \displaystyle A}+\frac{ \displaystyle q_{ik}S_{i}}{ \displaystyle A} - \stackrel{.}{M}_k H_{ik} +  R_k \frac{ \displaystyle \partial p}{ \displaystyle \partial t} + \xi \frac{ \displaystyle \tau_{ik}S_{i} U_i}{ \displaystyle A} $

avec $~ H_k = H_{k,sat} + C_{pk} (T_k - T_{sat}  ) $

  • Équations de bilan à l'interface

$ \stackrel{.}{M}_l =  - \stackrel{.}{M}_v ~ \approx G  \frac { \displaystyle \partial x }{ \displaystyle \partial z} $

$ \tau_{il} + \tau_{iv}= 0 $

$ \stackrel{.}{M}_l( \underbrace{H_{iv}  - H_{il}}_{ \displaystyle h_{lv}})+ \frac { \displaystyle S_i}{ \displaystyle A} (q_{iv} + q_{il}) = 0 $

On obtient ainsi un système d'équation avec 9 paramètres physiques caractéristiques :

$ \rho_l, \rho_v, \nu_l, \nu_v, \lambda_l, \lambda_v, c_{pl}, c_{pv}, h_{lv} $

ainsi que 5 paramètres de contrôle à déterminer $       D, G, g, \sigma_{lv}  q_p$ et $x $

On a donc 15 paramètres ainsi que 4 dimensions (M L T et $ \theta $ ), ce qui donne grâce au théorème de $ \Pi $ 11 nombres adimensionnels indépendant. Ces nombres adimensionnels peuvent être :

  Reynolds : $ Re_k = \frac { \displaystyle U_k D}{ \displaystyle \nu_k} $

  Peclet : $ Pe_k = \frac { \displaystyle U_k D}{ \displaystyle a_k} $

  Froude : $ Fr_k= \frac { \displaystyle U_k^2}{ \displaystyle gD} $

  Eckert : $ Ec_k = \frac { \displaystyle U_k^2}{ \displaystyle h_{lv}}  $,

  Weber : $ We_k=\frac { \displaystyle G^2 D}{ \displaystyle \rho_k \sigma_{lv}} $

  Prandtl : $ Pr_k= \frac { \displaystyle \mu_k c_{pk}}{ \displaystyle \lambda_k} $

  Ébullition : $ Bo=\frac { \displaystyle q}{ \displaystyle G h_{lv}} $

Ainsi que les rapports de propriétés physiques suivants :

  Masse volumique : $ \frac { \displaystyle \rho_v}{ \displaystyle \rho_l} $

  Viscosité dynamique : $ \frac { \displaystyle \mu_v}{ \displaystyle \mu_l} $

   Capacité calorifique : $ \frac { \displaystyle c_{pv}}{ \displaystyle c_{pl}} $

   Fraction massique : x

Comme nous nous situons en apesanteur le nombre de Froude sera infini car g=0. Ce nombre sera utile seulement lors d'expériences au sol afin de voir son influence sur l'écoulement afin de pouvoir utiliser les résultats obtenus.

Avec ces nombres nous pouvons ainsi comparer les différents écoulements issus de la bibliographie sur le sujet et essayer de trouver des données qui sont en concordance avec notre système.