Modélisation des potentiels piétons

Estimation des potentiels piétons

Modèle alternatif


Modélisation mathématique

Le but de cette partie est d'estimer le potentiel piéton dans les endroits où aucune mesure n'a été effectuée. La modélisation des flux piétonniers semble une bonne solution pour extrapoler nos données parce qu'elle nous permettrait de savoir la façon dont les piétons se répartissent dans les rues. Cependant, ce type de modélisation est très dur à mettre en place à cause de la difficulté à prévoir le comportement piéton. Un piéton peut en effet être assimilé à un électron libre prenant ses propres décisions.

 

1) Modèles existants

Deux types de modèles principaux existent pour modéliser un flux piéton: les modèles macroscopiques et les modèles microscopiques.

Les modèles macroscopiques considèrent le trafic comme un flux continu et traitent le comportement global des piétons, par analogie aux modèles de transport en mécanique des fluides. Ce sont des modèles à loi comportementale collective reposant sur une relation d'équilibre liant la vitesse des piétons à la concentration.

Les modèles microscopiques s’attachent à caractériser le comportement individuel des véhicules et leur interaction avec ceux qui les précèdent. Ce sont des modèles à loi comportementale individualisée qui reposent sur une représentation microscopique de l'écoulement et supposent que chaque véhicule réagit différemment à un environnement donné.

Cependant ces modèles ont pour objectif le calcul de grandeurs fondamentales liées à l’écoulement des flux comme le débit, la vitesse ou la concentration et s'attachent à la modélisation des variations de ce flux. Ils ont également pour but "d’élaborer à partir de ces grandeurs, des indicateurs agrégés représentatifs de la qualité de l’écoulement du "trafic" et relatifs à la congestion ainsi qu'aux temps de parcours"(source). Or dans notre cas nous désirons obtenir uniquement le nombre de piétons pour les tronçons sans point de mesure. De tels modèles semblent donc trop puissants. Nous avons donc essayé de créer notre propre modèle basé sur une mise en équation mathématique.

 

2) Cas général du carrefour en T

Nous avons choisi de considérer dans un premier temps le système "interception" d'un carrefour en T parce que cela reste un type de croisement simple qui est extrapolable par analogie à tout les autres types d'intersection.

La situation est la suivante :

Figure 1 : Schéma du carrefour en T


Considérons aux points 1,2 et 3 un compteur calculant la nombre de piétons indépendamment du sens.

On a donc,
{e1, e2, e3} représentant les personnes qui entrent dans le système.
{S1, S2, S3} représentant les personnes qui sortent du système.
{ Ωe , Ωs } exprimant un terme source et/ou puit (personne non comptabilisée au point de comptage :parking, boutique, métro...).
 

Posons :
Xi = ei + si Nombre de personnes comptabilisées en un point de mesure.

Par conservation du nombre de personne dans le système {1, 2, 3}
S1 = α11.e1+α21.e2+α31.e3+αΩe1 . Ωe
S2 = α12.e1+α22.e2+α32.e3+αΩe2 . Ωe
S1 = α13.e1+α23.e2+α33.e3+αΩe3 . Ωe
Ωs
= α1Ωs.e1+α2Ωs.e2+α3Ωs.e3ΩeΩs . Ωe

Les αij représentant la proportion de personne entrant en i et sortant en j (par exemple α12 = 1/10 signifie que 1 dixième des personnes entrant par 1 est sorti par 2).

On a donc :

α11 + α12 + α13 + α1Ωs = 1
α21 + α22 + α23 + α2Ωs = 1
α31 + α32 + α33 + α3Ωs = 1
αΩe1 + αΩe2 + αΩe3 + αΩeΩs = 1

 

Finalement on obtient un système à :
- 11 équations
-
24 inconnues

Il n'est donc pas possible de résoudre un tel système à moins de simplifier le système ou de faire certaines hypothèses... Nous avons donc aussi essayé avec un cas plus simple: une rue sans embranchement

Il semble donc très compliqué et illusoire de pouvoir modéliser (par extrapolation) la fréquentation des rues où nous avons aucune mesure.

 

3) Application à un cas simple

Considérons une rue avec plusieurs embranchements (points sources et puits) et deux points de mesure.

Figure 2 : Schéma d'une rue simple

 

Le but est d'estimer la répartition de la densité de piétons dans cette rue et  d'estimer ainsi les inconnues {Ωs, Ωe} pour extrapoler dans le cas d'un croisement en T où il manquerait des mesures sur un des embranchements.
En posant les systèmes d'équations on remarque qu'il y a 15 inconnues pour seulement 8 équations.

Afin de réduire le nombre d'inconnues nous allons multiplier les hypothèses. Cependant, il convient de garder à l'esprit que ces hypothèses sont toutes contestables à leur échelle car il est impossible de généraliser le déplacement des piétons, chacun se déplaçant tel un "électron libre". Ainsi selon les différents croisements, les piétons auront des comportements différents. On ne peut pas prouver, avec les données disponibles, la proportion de piéton qui empreinte une rue plutôt qu'une autre.

Hypothèse : On suppose que la rue modélisée ne comporte pas de fuite, soit Ωs = Ωe = 0 et αΩe1 = αΩe2 = αΩeΩs = α1Ωs = = α2Ωs = 0
Dans ce cas, on peut estimer le nombre de piétons qui sont entrés dans le système. Il est égal à : $ \large \frac{X_1 + X_2}{2} $

Cependant on peut difficilement estimer la répartition de cette densité car des personnes peuvent faire des allers retours au sein même du système (un personne passant par 1 peut, avant de passer par 2, faire demi tour) et donc être comptées deux fois à un point de comptage et pas à l'autre.

Il apparait que dans un cas simple aussi la mise en équation des différents systèmes n'est pas réalisable. Il est en effet impossible de modéliser mathématiquement et de manière fiable la répartition de la densité au sein d'une rue.

 

Conclusion

L'extrapolation des données grâce à une mise en équation des différents systèmes (carrefours, rues, embranchements...) n'est pas possible. En effet, le nombre de paramètres qu'il faudrait estimer (ou le nombre d'hypothèses qu'il faudrait faire) est trop important. De plus, les mises en équation traitent d'un système isolé ce qui est loin de la réalité où les différents éléments intéragissent entre eux, complexifiant ainsi le problème.

Nous avons donc décidé d'estimer par nous même de manière la plus cohérente possible la densité des flux dans les rues de Toulouse (cf partie suivante). Les résultats de notre étude ne devront pas être pris au pied de la lettre et seront à interpréter avec précaution parce que les potentiels piétons trouvés ne seront pas exacts et que nous ne sommes pas en mesure d'estimer l'erreur de nos estimations.

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