3. Analyse statistique univariée

3.1 Acquisition des données

 

Nous avons récupéré les chroniques de débits sur la banque Hydro de 1964 à 2011, les résultats peuvent être affichés selon un intervalle de trois ans maximum. On a représenté les données pour les années 1970 à 1972 sur la figure suivante, il est aussi possible d'afficher les données sous forme de tableau de données.

 

Chronique de débits sur la Loire à Orléans (station Pont Royal) (source)

 

Nous avons importé ces données sous Matlab afin d'exploiter les données sur quarante ans.

 

3.2 Exploitation des données

 

3.2.a Hydrogramme

 

On se limite au final aux années 1971 à 2011 car les années précédentes sont difficilement exploitables du fait de leur format différent, on trace sur la figure suivante les chroniques de débits.

 

Chroniques de débit de la Loire à Orléans (Pont Royal)

 

On trace alors l'histogramme du nombre d'occurrence des débits afin de se donner une première idée des débits moyens et de crues.

 

Histogramme du nombre d'occurence de 1971 à 2011

 

3.2.b Fonction de répartition

 

L'objectif de cette partie est d'ajuster la loi de Gumbel à la fonction de répartition empirique. Tout d'abord on a extrait les débits maximaux annuels des données journalières, cela constitue un tableau de débit de crues annuelles.

 

3.2.b.1 Estimation empirique de la fonction de répartition

 

Cette estimation est motivée par le fait que l'on doive disposer d'une estimation de la fonction de répartition empirique avant de proposer l'ajustement à une fonction de répartition modèle théorique donnée, ici Gumbel. On utilise la méthode par points dite de Hazen, caractérisé par la formule de Hazen suivante :

$$\large\hat{F}_x (x_j) = \frac{j-1/2}{N} , (j=1,...,N)$$

 

3.2.b.2 Ajustement de la loi de Gumbel : loi des valeurs extrêmes

 

La loi de Gumbel est une loi des valeurs extrêmes, nous allons voir pourquoi elle est adaptée à notre cas.

Définition de la loi des valeurs extrêmes : Une variable aléatoire extrême Y résulte d'une prise de maximum : $\large Y = \max_{j=1,...,N} \left\{X_j\right\}$.

Le débit de crue annuel est défini, chaque année, par : $\large Q_{crue} = \max_{j=1,...,N} \left\{Q_{jour} (j)\right\}$.

Lorsque $\large N\rightarrow \infty$, ce qui est le cas ici puisque l'on travaille sur trente années, la variable aléatoire extrême Y ne dépend que faiblement de la loi de probabilité de ($\large X_j$) et on sait que la loi de ($\large Y$) tend vers la loi de Gumbel (double-exponentielle).

 

Définition de la loi de Gumbel : $\large F(X)= exp\left[-exp\left[-\frac{X-\alpha}{\beta}\right]\right]$ avec $\large \hat{\alpha}=\hat{m}_X-0.45 \hat{\sigma}_X~~~~\hat{\beta}=\hat{\sigma}_X/1.28$.

Dans notre cas, on trouve :

$$\large \hat{m}_X=1812~~ m^3/s ~~~~~~\hat{\sigma}_X = 608~~ m^3/s$$

$$\large \hat{\alpha}= 1539 ~~m^3/s ~~~~~~\hat{\beta} = 475.7 ~~m^3/s$$

On trace la fonction de répartition empirique et l'ajustement de la loi de Gumbel sur la figure ci-dessous.

 

Fonction de répartition des maxima annuels (cliquez sur l'image pour agrandir)

 

On peut donc extraire de ce graphe la valeur du débit de crue decennale (2620 m3/s) et centennale (3740 m3/s), on a calculé de plus le module (348 m3/s). Ces valeurs correspondent à celles trouvées dans la littérature, et les calculs sont donc pertinents.

 

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