Etude théorique préliminaire

  • Critère de mise en mouvement des sédiments :

Dans un premier temps, nous cherchons à savoir si le débit retenu pour cette étude (1400 m3.s-1) est suffisamment puissant pour mettre en mouvement les sédiments.

Pour ce faire, nous allons nous référer à la courbe de Shields [1936], représentée ci-dessous :

Courbe de Shields (source: thèse de P. Meunier "Dynamique des rivières en tresses")

Cette courbe relie le paramètre de Shields $\theta$, encore appelé cisaillement de Shields ${\tau_{cr}}^\ast$

$$\large{\theta =} \large{ \frac{\tau_b}{(\rho_s-\rho)gd}}$$

au nombre de Reynolds particulaire

$$\large{\Re_p =} \large{\frac{u^\ast d}{\nu}}$$

 

Où  :

$\large{\rho_s}$ : masse volumique des particules solides (2650 kg.m-3 pour du sable grossier) 

$\large{\rho}$ : masse volumique de l'eau (1000 kg.m-3)

$\large{g}$ : accélération de la pesanteur (9.81 m2.s-1)

$\large{d}$ : le diamètre d50 des grains, soit le diamètre tel que 50% des grains aient un diamètre inférieur ou égal à d50 (2.5 mm)

$\large{\nu}$ : la viscosité cinématique de l'eau (10-6 m2.s-1)

$\large{\tau_b}$ : le cisaillement exercé par l'eau sur les particules solides. Il est donné par :

$$\large{\tau_b =} \large{\frac{\rho g {\overline{U}^2}}{k^2 h^{1/3}}}$$

Où :

$\large{\bar{U}}$ : la vitesse moyenne de l'écoulement (1 m.s-1 en moyenne selon nos modélisations hydrodynamiques dans les différentes configurations)

$\large{h}$ : la hauteur moyenne dans le cours d'eau (5 m en moyenne)

$\large{k}$ : le paramètre de Strickler (30 pour un fond de sables grossiers et graves)

$\large{u^*}$ : la vitesse de frottement, qui peut être approximée au fond par :

$$\large{u^\ast =} \large{\sqrt{\frac{\tau_b}{\rho}}}$$

 

La courbe en noir représente le seuil de mise en mouvement des particules solides pour un écoulement donné : si, pour une valeur de $\large{\Re_p}$ fixée (à savoir pour une taille de grains donnée et pour des conditions hydrodynamiques fixées), la valeur du paramètre de Shields se situe au dessus de la courbe noire, alors le sédiment est mis en mouvement.

Dans notre cas, l'application numérique nous donne :

$\large{\tau_b}$ = 6.37

$\large{\theta}$ = 1.58x10-1

$\large{u^*}$ =  7.98x10-2 m.s-1

$\large{\Re_p}$ = 1.99x102

On lit sur la courbe de Shields que pour $\large{\Re_p}$ = 199, la valeur critique du paramètre de Shields (intersection avec la courbe noire) vaut $\large{\theta_{crit}}$ = 0.04. Comme le paramètre de Shields vaut dans notre cas 0.158, alors il y a bien mise en mouvement du sédiment pour un débit d'entrée du domaine valant 1400 m3.s-1.

 

  • Évaluation des flux de sédiments

Il existe deux modes de transport des sédiments : le transport par charriage et le transport en suspension. Le premier mode de transport, qui a lieu sur une faible épaisseur au-dessus du lit sédimentaire, se caractérise par un contact solide entre grains prédominant où les forces hydrodynamiques influent peu. Au contraire, les fluctuations turbulentes jouent un rôle prépondérant dans le transport en suspension, le contact entre grains étant cette fois négligeable.

Ces deux processus physiques étant par nature très différents et les échelles caractéristiques de chacun d'eux étant bien séparées, il est  donc possible de décomposer le flux total de matière solide $q_t$ en la somme de deux termes : un flux de charriage $q_c$ et un flux de suspension $q_s$.

                Estimation du flux de charriage :

Selon les travaux de Meyer Peter et Müller (1948) qui sont basés sur une approche expérimentale, le flux de charriage peut être évalué selon la formule empirique suivante :

$$\large{q_c =} \large{8(\theta - 0.047)^{1.5}(\frac{\rho_s}{\rho}-1)^{0.5}g^{0.5}d^{0.5}}$$

L'application numérique donne dans notre cas $q_s$ = 1.43x10-4 $m^3.s^{-1}$.

                 Estimation du flux en suspension :

On utilise cette fois, non plus une approche par des paramètres globaux de l'écoulement comme pour le calcul du flux de charriage, mais une approche locale en considérant la concentration instantanée en particules solides c(x,y,z,t) et la vitesse instantanée du fluide $u_F(x,y,z,t)$ que l'on moyenne dans le temps (pour obtenir $\large{\widehat{c}}$ et $\large{\widehat{u}}$).

En faisant l'hypothèse que l'écoulement est parallèle (il est invariable en y) et qu'il est lentement variable en x, on peut démontrer que :

$$\large{\hat{q_s} =} \large{\int_{\delta_b}^{h} \hat{u_f}(z) \hat{c}(z) dz}$$

Avec :

$\large{\delta_b}$ : la hauteur de la couche de charriage, donnée par [Van Rijn, 1986]:

$$\large{\delta_b =} \large{0.3 d_{50} D_\ast^{0.7} T^{0.5}}$$

$$\large{T =} \large{\frac{\tau_b - \tau_{b,crit}}{\tau_{b,crit}}}$$

$\large{D^\ast =} \large{d[\frac{(\frac{\rho_s}{\rho}-1)g}{\nu^2}]^{1/3}}$

 

Détermination de $\large{\hat{u_f}(z)}$:

En faisant l'hypothèse que le fond est plan, le profil de vitesse est donné par l'approximation de la loi logarithmique au voisinage du fond :

$$\large{\widehat{u} =} \large{\frac{u^\ast}{k}ln(\frac{z}{\delta_b})}$$

Avec $\large{k}$ : la constante de Von Karman (= 0.4).

 

Détermination de $\large{\widehat{c}(z)}$ :

En supposant que l'écoulement est permanent et en adoptant un modèle de diffusion pour le transport vertical de sédiments (loi de Fick), l'équation de conservation de la masse de sédiments intégrée dans le temps donne [Van Rijn, Principles of sediment transport in rivers, estuaries and coastal seas, eq.7.3.10] :

$\large{\mu_{t,s,z} \frac{\partial{\widehat{c}}}{\partial{z}} + {w_s} \widehat{c} =}$ 0

Avec :

$\large{\omega_s}$ : la vitesse de chute des sédiments qui vaut, avec l'approximation de Stokes :

$$\large{\omega_s =} \large{\frac{(\frac{\rho_s}{\rho}-1)g d^2}{18 \nu}}$$

Où : $\large{\mu_{t,s,z}}$ : la diffusivité turbulente de la concentration en sédiments que l'on suppose constante et égale à :

$$\large{\mu_{t,s,z} =} \large{\beta \mu_t}$$

Où : $\large{\beta}$ : le nombre de Schmidt turbulent ($\sim{1}$)

Et :  $\large{\mu_t}$ : la diffusivité turbulente de la quantité de mouvement qui vaut, en rivières :

$$\large{\mu_t =} 0.07  d  {u^\ast}$$

 

En intégrant l'équation différentielle précédente (avec l'hypothèse que $\large{\mu_{t,s,z}}$ est constante), on obtient : 

$$\large{\widehat{c}(z) =}\large{C_0 exp[- \frac{\omega_s}{\mu_{t,s,z}}(z-\delta_b)]}$$

Avec :

$\large{C_0}$ : la concentration dans la zone de charriage:

$$\large{C_0 =} \large{0.18 C_{0,b} \frac{T}{D^\ast}}$$ [Van Rijn, 1986]

où $\large{C_{0,b}}$ est la concentration maximale au fond, qui vaut 0.65 par expérience

 

L'application numérique donne :

$\large{T}$ = 2.93

$\large{D^*}$ = 6.32x101

$\large{C_0}$ = 5.42x10-3

\large{\delta_b}$ = 2.34x10-2 m

$\large{\omega_s}$ = 5.62 m.s-1

$\large{\mu_{t,s,z}}$ = 2.79x10-2

 

Donc : $\large{\widehat{q_s}}$ = 9.39x10-7 m3.s-1

 

Il y a un rapport de 100 entre le flux de charriage et le flux de suspension. Nous négligerons donc le flux de suspension dans la modélisation.

 

  • Comparaison entre le temps caractéristique hydrodynamique et le temps caractéristique d'évolution du fond

Cette comparaison servira entre autre à la détermination de la période de couplage dans le fichier de paramètre du logiciel Sisyphe.

               Calcul du temps caractéristique hydrodynamique :

$$\large{c_{hyd} =} \large{\sqrt{g h}}$$

                Calcul du temps caractéristique d'évolution du fond [Graf,Hydraulique fluviale] :

$$\large{c_{\omega}} = \large{\frac{u}{(1-\rho) h (1-Fr^2)} \frac{\partial q_s}{\partial u} = \frac{u}{(1-\rho) h (1-Fr^2)}(b_s \frac{q_s}{u})}$$

si $$\large{q_s =} \large{a_s u^{b_s}}$$

Avec :

$\large{p}$ : la porosité du granulat du fond (0.4, valeur numérique par défaut dans le logiciel Sisyphe)

$\large{Fr}$ : le nombre de Froude, qui vaut :

$$\large{Fr^2 =} \large{\frac{U^2}{g h}}$$

Détermination de $\large{b_s}$ :

D'après la formule de Meyer Peter-Müller, donnée ci-dessus, on a :

$$\large{q_c \propto} \large{\theta^{1,5}}$$

Or : $$\large{\theta \propto} \large{\overline{U}^2}$$

Donc: $$\large{q_c \propto} \large{\overline{U}^3}$$

Finalement, $\large{b_s}$ = 3.

 

L'application numérique donne :

$\large{c_{hyd}}$ = 7.00 m.s-1

$\large{{Fr}^2}$ = 2.04x10-2

$\large{c_{\omega}}$ = 1.46x10-4 m.s-1

Donc : $\large{\frac{c_{hyd}}{c_\omega}}$ = 4.80x104

 

Donc il y a quatre ordres de grandeur entre le temps caractéristique hydrodynamique et le temps caractéristique d'évolution du fond.

 

 

 

 

 

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