3. Conditions limites

3.1 Vue générale du domaine

 

Toutes nos simulations ont utilisé les mêmes domaines d'entrée et de sortie, certains problèmes se sont posés dans un premier temps du fait de la zone trop importante allouée à la sortie, ou trop petite en entrée. Nous avons, par la suite, apporté une attention toute particulière à ne pas dépasser la digue en sortie, et plus généralement de bien rester dans le lit mineur lors de la définition des conditions limites. Un exemple est présenté sur la figure suivante, la zone est découpé en trois sous-domaines différents.

 

Définition des conditions limites. Entrée (droite) : vert clair, Sortie (gauche) : vert clair, Bords : orange.

 

 

Pour l'entrée, nous imposons un débit variable dans le temps, se présentant sous la forme d'un hydrogramme de crue, ce qui revient à imposer une vitesse U et une vitesse V et à laisser la hauteur d'eau H libre. Sur les bords, nous avons imposé une condition de glissement aux parois pour les trois grandeurs H, U et V. Et finalement en sortie, nous avons fixé la hauteur d'eau H et laissé libre les vitesse U et V, sous la forme d'une courbe de tarage. Le tableau ci-dessous reprend les différentes conditions et leur correspondance en terme de code Matisse.

 

  Hauteur d'eau H Vitesse U Vitesse V
Entrée (vert clair) Libre (4) Fixée (5) Fixée (5)
Bords (orange) Glissement (2) Glissement (2) Glissement (2)
Sortie (vert clair) Fixée (5) Libre (4) Libre (4)

                             Différentes conditions limites du domaine

 

3.2 Détail des conditions limite d'entrée et de sortie

 

3.2.a Entrée : hydrogramme

 

Étude de crue oblige, nous avons dû créer des hydrogrammes de crue afin de les utiliser en tant que condition limite d'entrée, les débits caractéristiques ont été déterminés précédemment (voir partie I). Dans la mesure où nous ne disposons pas d'hydrogramme empirique, du moins pour la crue centennale, nous avons choisi de les représenter par des gaussiennes (fonction gausswin de MatLab) dont nous avons ajusté la largeur de pic afin d'avoir une augmentation progressive du débit. On peut voir sur la figure suivante l'hydrogramme de crue centennale (3700 m3/s).

Hydrogramme de crue centennale (3700 m3/s)

La première critique que l'on peut formuler est l'aspect symétrique de la courbe, en effet la décrue est souvent bien plus étalée que la crue elle-même, cependant l'impact sur la modélisation est moindre car cela joue peu sur la superficie des zones inondées, l'objet de l'étude.

 

3.2.b Sortie : courbe de tarage

 

Nous avons pu récupérer, grâce à M. LeBarbu (CT Normandie), les tableaux de relation hauteur-débit sur l'année 2000 au niveau du pont Georges V (station Quai du roi) ce qui correspond exactement à l'extrémité aval de notre domaine, à partir de cela nous avons pu construire une première courbe de tarage.

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Courbe de tarage extrapolée (fichier)

 

Après des tests de crue de débit croissant, jusqu'à un débit maximal de 5000 m3/s correspondant aux crues du XIXe siècle, le niveau restait très en dessous des digues et nous avons émis des doutes la validité de notre courbe de tarage : celle-ci sous-estimait peut-être la hauteur d'eau en sortie et par conséquent dans tout le domaine. Nous avons donc décidé de la modifier manuellement pour les forts débits (fichier) en augmentant la hauteur d'un mètre pour un débit de 4800 m3/s (passage de 95.34 à 96.34 m) et en supprimant les deux avant-dernières entrées.

 

Courbe de tarage modifiée

 

On peut justifier ce choix par une rapide étude analytique faisant appel à la loi de Manning-Strickler, qui relie le débit $Q$ à la section mouillée $S$, au rayon hydraulique $R=S/P$ (où $P$ est le périmètre mouillé) et à la pente du fond $i$ au travers d'un coefficient de rugosité $K$ :

$$Q=K\,S\,R^{2/3}\,i^{1/2}$$

Si on se place dans le cas d'un lit de section rectangulaire, on peut écrire $S=L\,h$ et $P=L+2\,h$, où $L$ est la largeur de la Loire à l'endroit considéré et $h$ la hauteur d'eau. En remplaçant dans l'équation précédente, on obtient :

$$Q=K\frac{(L\,h)^{5/3}}{(L+2\,h)^{2/3}}\,i^{1/2}$$

Pour de faibles hauteurs d'eau ($2\,h\,\ll\,L$), on peut faire l'approximation suivante :

$$Q=K\,L\,h^{5/3}\,i^{1/2}$$

A  l'inverse, en crue, on s'éloigne de ce modèle simplifié pour tendre vers une autre approximation, avec $2\,h\,\gg\,L$ :

$$Q=K\,\frac{L^{5/3}}{2^{2/3}}\,h\,i^{1/2}$$

La courbe de tarage est donc plus convexe à l'étiage, où $Q$ est proportionnel à $h^{5/3}$, qu'en crue, où $Q$ devient proportionnel à $h$. Pour prolonger notre courbe de tarage, il ne faut donc pas interpoler par une courbe d'allure parabolique, mais plutôt par une droite passant par les points de fort débit. C'est cette erreur qu'on avait faite qui conduisait à sous-estimer la hauteur d'eau en crue.

On a donc utilisé dans la suite de notre étude la courbe de tarage corrigée.

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