Détermination d'une longueur caractétistique

L'analyse par zone montre que les fréquences d'oscillations de hauteur d'eau varient d'une zone à l'autre. Ces fréquences doivent provenir d'une vitesse caractéristique et d'une longueur caractéristique.

Vitesse Caractéristique

Pour la vitesse caractéristique, nous choisissons la vitesse moyenne en amont de l'îlot dans le sous bassin. Pour calculer cette vitesse, nous intégrons les normes des vitesse U,V sur une section transversale en amont de l'îlot. Cette vitesse moyenne est à chaque fois plus ou moins constante dans le temps, elle fluctue à quelques centièmes près. Les vitesses caractéristiques obtenues sont classées dans le tableau qui vient ci-dessous.

NB : le choix de cette vitesse caractéristique propre à l'écoulement, de sa façon de la déterminer restent discutables.

Longueur Caractéristique

Calcul théorique

Dans les pages précédentes, l'analyse spectrale a permis de faire ressortir des fréquences caractéristiques. Avec $ L_c= {U_c \over f_c }$ nous calculons la longueur caractéristique pour chacune des quatre zones.

 

  zone 1 zone 2 zone 3 zone 4
Vitesse caractéristique Uc (m/s) 1,3 2,8 2,3 2
Fréquence caractéristique fc (Hz) 0,11 0,09 0,09 0,21
Longueur caractéristique Lc (m) 11,8 31 25,5 9,5

 

Correspondance de la longueur caractéristique

Comment savoir à quoi correspondent ces longueurs caractéristiques ? Plusieurs choix sont possibles. Il peut s'agir de la taille caractéristique de l'îlot, de la largeur du bassin dans lequel il se trouve, de sa longueur ou encore de la distance au prochain rétrécissement de section. Ces différentes valeurs possibles sont recensées dans le tableau ci-dessous en effectuant des mesures sur la géométrie.

Le côté du carré équivalent se calcule de la manière suivante : on détermine l'aire du sous bassin dans lequel se trouve l'îlot (ex: 149 m² pour la zone 1) et on en déduit le côté du carré ayant la même aire.  Ainsi, on prend en compte la longueur longitudinale et transversale. Il est néanmoins possible de prendre en compte ces deux valeurs en prenant le périmètre équivalent.

calcul de l'aire du sous bassin de la première zone

Le choix du sous bassin est difficile car parfois il est possible de "voir" plusieurs configurations possibles, comme pour la zone 2.

 

  zone 1 zone 2 zone 3 zone 4
taille caractéristique de l'îlot (m) 2,4 4,7 1,3 1,5
longueur longitudinale du sous bassin (m) 11 21 27 16
longueur transversale du sous bassin (m) 13 25 25,8 15
côté du carré équivalent* au sous bassin (m) 12 17 ou 27 21 15,7

La taille de l'îlot est elle responsable de la fréquence des oscillations de la hauteur d'eau? L'îlot semble être source des instationnarités observées mais est-il responsable de la fréquence? Les longueurs caractéristiques de la zone 1 et 3 sont respectivement 11,8 m et 25,5 m (voir premier tableau) et les tailles caractéristiques des îlots de ces zones sont respectivement 2,4 m et 1,3 m (voir le deuxième  tableau). En considérant que la relation $ f_c = {U_c \over {L_c}} $ comporte une constante dans la formule, il pourrait être envisagé un lien  de proportionnalité entre les longueurs caractéristiques calculées et les tailles caractéristiques des îlots mesurées. Seulement, pour la zone 1 où l'îlot est plus gros que dans la zone 3, la longueur caractéristique que nous obtenons est plus faible (11,8m contre 25,5m).

La fréquence des oscillations semble donc dépendre uniquement des dimensions du parcours et non de ses îlots qui sont pourtant responsables du phénomène. Il n'est pas possible de dire exactement à quelle longueur caractéristique parmi celles que nous avons proposées (et il peut en rester d'autres) la fréquence des oscillations dépend exactement. Cependant les ordres de grandeur sont corrects et laissent penser que la fréquence des oscillations de la hauteur d'eau dans un sous bassin dépend des dimensions de celui-ci et non des dimensions de l'îlot en amont immédiat.

NB : Cette analyse dépend largement du choix de la vitesse caractéristique au début.

 

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Vers Problèmes de simulation

 

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