Instabilité de cisaillement derrière l'îlot n°2

L'objectif de cette partie est de déterminer l'influence de l'îlot n°2 sur les variations de surfaces libres.

 

Influence de l'îlot n°2

Le deuxième îlot du stade d'eaux vives a les dimensions suivantes : il mesure 11.3m de long et 4.7m de large. Afin de déterminer les fréquences d'émission des tourbillons derrière le deuxième îlot, nous avons disposé trois points sur la trajectoire d'un tourbillon de la manière suivante:

 

 

Hauteurs d'eau

 

Signaux temporels

 

Nous pouvons visualiser, ci-dessous, les hauteurs d'eau au cours du temps en ces trois points. Nous pouvons déjà remarquer que ces signaux sont périodiques. Ils rendent donc comptent de structures tourbillonnaires dont l'organisation temporelle possède un caractère périodique prononcé. Les variations de hauteur d'eau sont toutefois assez importantes, de l'ordre de la vingtaine de centimètres.

NB : pour mieux visualisez les graphiques, cliquez ici.

Si nous superposons les trois signaux, nous pouvons remarquer qu'ils ont une période du même ordre de grandeur. Il s'agit donc du même phénomène qui se propage. 

NB : pour mieux visualiser le graphique, cliquez ici.

 

Signaux en fréquences

 

 

En appliquant la transformée de Fourier à ces signaux, voici ce que l'on obtient :

NB : pour mieux visualiser le graphique, cliquez ici.

La fréquence du fondamental de ce spectre est de 0.056 Hz, qui correspond à une période de 18s. Tous les autres pics sont des harmoniques.  Nous remarquons que les spectres en fréquence en ces trois points se superposent, les signaux ont donc la même période.

 

Vitesse scalaire

Nous pouvons nous demander si les spectres en fréquence pour les signaux de vitesse scalaire en ces mêmes points sont les mêmes que ceux pour les hauteurs d'eau. En effet, les instabilités de cisaillement derrière un îlot sont en partie dues à la différence de vitesse qu'ont les deux jets lorsqu'ils se rejoignent.

Les spectres ne sont pas tout à fait identique. La fréquence fondamentale reste toutefois la même (0.056Hz), mais l'amplitude relative des harmoniques diffère.
 
 

Instabilités de cisaillement

La formule du nombre de Strouhal permet d'avoir un ordre de grandeur de la fréquence d'émission des structures tourbillonnaires. Même si les hypothèses d'utilisation de cette formule ne sont pas vraiment applicables ici, elle nous donne cependant une estimation des fréquences que nous pouvons associer aux instabilités de cisaillement. Pour cela, nous supposons que l'îlot est un cylindre à section circulaire, hypothèse qui permet de fixer le nombre de Strouhal à 0.2. La vitesse n'est pas uniforme à l'amont de l'îlot, elle varie de 0.3m/s à 4.9m/s. Aussi, deux dimensions de l'îlot peuvent être considérées (11.3m et 4.7m), selon que l'on prenne sa longueur ou sa largeur.

$St= \frac {f D} {u} $              avec       D : diamètre du cylindre
f: fréquence d'émission des structures tourbillonnaires 
u : vitesse à l'amont du cylindre
 
  • D=11.3; u=0.3m/s         f=0.0053 Hz
  • D=11.3; u=4.9m/s         f=0.0867 Hz
  • D=4.7; u=0.3m/s           f=0.0128 Hz
  • D=4.7; u=4.9m/s           f=0.2085 Hz

La gamme de fréquence pour des structures tourbillonnaires   est donc comprise entre 0.005Hz et 0.21Hz. La fréquence de 0.056Hz se situe dans cette gamme. Mais chose remarquable, cette fréquence est présente dans toute la zone 2 et pas seulement derrière l'îlot n°2.

 

Comparaison avec la simulation avec épis

En effet, si nous regardons l'analyse qui a été faite avec la simulation avec épis (la revoir ici) (simulation dans laquelle il n'y a pas d'îlot), nous remarquons qu'une fréquence de 0.055Hz apparaît également dans cette zone. Cependant, si on compare les signaux temporels, l'amplitude des oscillations sont légèrement plus faibles que celles que l'on obtient ici. Ainsi, l'îlot n°2 ne modifierait pas les fréquences mais seulement l'amplitude de la turbulence. Ils joueraient seulement le rôle de perturbation pour un autre phénomène.

 

Rajout des batardeaux

Réalisons maintenant des relevés de hauteurs d'eau au cours du temps aux mêmes points précédents, mais sur la configuration qui contient les batardeaux (simulation avec épis, îlots et batardeaux).

NB : pour mieux visualiser les graphiques, cliquez ici.

La périodicité des signaux a été dégradée par rapport au cas sans batardeau. L'amplitude des oscillations de la hauteur d'eau est aussi plus faible.

Nous obtenons les spectres en fréquences suivants :

Deux pics ressortent de ces spectres, de fréquences 0.063Hz et 0.13Hz. Le deuxième pic (0.13Hz) pourrait être la deuxième harmonique de la fréquence 0.063Hz. Ainsi, nous ne retrouvons plus la fréquence 0.056Hz, mais une autre fréquence relativement proche. Les batardeaux provoquent une dissymétrie de l'écoulement qui modifient les structures tourbillonnaires. L'amplitude des pics repérés sur les spectres précédents est néanmoins plus faible, d'environ deux fois, que lorsque les batardeaux ne sont pas présents, ce qui montre une certaine efficacité de ceux-ci.

 

Corrélation croisée

Les variations temporelles de hauteur d'eau ont été relevées aux points ci-dessous afin de calculer leurs coefficients de corrélation et pour voir si les signaux sont déphasés.

On obtient les graphes de corrélation croisée suivants :

Le facteur de corrélation est grand pour les signaux H1 et H2, de 87%. Le déphasage pour ces deux signaux est de 0.8s. Pour les signaux H3 et H4, le coefficient de corrélation est de 82% et le déphasage de 11s. Enfin, pour les signaux relevés aux points H5 et H6, le coefficient de corrélation est d'au maximum 54%. Deux délais sont remarquables entre les deux signaux : 3.1s et 14.7s.

Ainsi, les coefficients de corrélation sont assez élevés (supérieurs à 50%) pour deux signaux de variations de hauteur d'eau pris en des points situés d'un bord à l'autre du canal. Et globalement, ces signaux ne sont pas en phase.

 

 

La fréquence de 0.056Hz, qui correspond à une période de 18s,  est caractéristique de la zone 2. Les instabilités de cisaillement, ou bien les ondes de choc se développant au niveau du front de l'îlot, sont sûrement couplées avec d'autres modes de résonance. La pose de batardeaux affaiblit cependant la turbulence dans la zone. En outre, les variations de hauteur d'eau sont déphasées d'un bord à l'autre du stade d'eaux vives.

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Vers Ilots n°3

 

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