Transformée de Fourier

L'agitation turbulente

Le régime turbulent est caractérisé par la présence, au sein d'un écoulement, de mouvements secondaires responsables d'une agitation macroscopique dite agitation turbulente.

En régime laminaire, les caractéristiques de l'écoulement (vitesse, pression,...) sont des fonctions déterministes de l'espace et du temps, au sens où la répétition d'un mouvement réel à partir de conditions initiales et aux limites identiques redonne des valeurs identiques à ces fonctions.

En régime turbulent, il n'en va plus ainsi. Plusieurs réalisations d'un même écoulement fournissent, pour toute grandeur prise en des points et des instants homologues, un ensemble de valeurs. La mesure n'est plus répétitive et son résultat devient aléatoire.

L'agitation turbulente, n'offre en général pas la même signature en tout point du champ. En dépit de variations patentes, les enregistrements de la hauteur d'eau au cours du temps peuvent être constitués d'oscillations recouvrant un très grand nombre de fréquences. Pour préciser ce point, il est donc usuel de procéder à une transformée de Fourier qui, pour un signal temporel, fournit une représentation fréquentielle.

Cependant, un point doit être précisé : on ne peut pas, en toute rigueur, lier chaque fréquence à une entité physique parfaitement définie, l'agitation turbulente étant un phénomène aléatoire. La notion de tourbillon doit garder un caractère conceptuel, son association systématique à une fréquence étant abusive. Pourtant, dans certains écoulements, l'ensemble des mouvements d'agitation peut néanmoins inclure ceux de véritables structures tourbillonnaires parfaitement constituées, cohérentes et dont l'organisation spatio-temporelle dans l'ensemble du champ possède parfois un caractère périodique prononcé. La répartition spectrale continue présente alors un ou plusieurs pics qui sont révélateurs de tels mouvements. Dans ce cas, l'association fréquence et structure reprend sa légitimité.

 

Transformée de Fourier

Joseph Fourier, mathématicien français, affirma qu'il était possible de décomposer un signal périodique sous la forme d'une somme de signaux sinusoïdaux, dont les fréquences sont des multiples de la fréquence du signal (1f, 2f,...nf).  Ces signaux élémentaires sont appelés harmoniques. L'harmonique de rang 1, c'est à dire de fréquence f, est appelé le fondamental.

Si l'on décompose l'amplitude des différentes harmoniques en fonction de leurs fréquences, on obtient un diagramme en bâtons appelé spectre en fréquence du signal. Ce résultat a été étendu  aux ondes non périodiques : toute onde peut être décomposée en une somme infinie d'ondes sinusoïdales, et ses propriétés s'obtiennent à partir de celles des ondes composantes. En pratique, seuls les premiers harmoniques ont une amplitude sensible.

Spectre en fréquence (http://fcd.mines-ales.fr/fourier.pdf)

 

Exemple

 Soit le signal périodique ci-dessous, dont la période est de 2s. Nous l'observons sur 20s, avec une fréquence d'échantillonnage de 10Hz. Son expression analytique est la suivante : $H=0,1\sin(2.\pi.0,5.t)+0,1\sin(2.\pi.1.t)+0,2\sin(2.\pi.2.t)$.

La transformée de Fourier donne le spectre en fréquence suivant :

 

Sur le spectre ci-dessus, nous pouvons repérer les fréquences des composantes sinusoïdales du signal : 0.5Hz, 1Hz et 2Hz. Nous retrouvons bien la fréquence fondamentale de 0.5Hz (qui correspond à une période de 2s). L'amplitude des harmoniques sur le spectre dépend du pas de temps d'échantillonnage et de la durée du signal. Seules les fréquences comprises entre 0 et Fs/2 (la moitié de la fréquence d'échantillonnage) peuvent être observées.

 

Application à notre problème

Avec nos simulations, nous disposons de l'évolution de la hauteur d'eau au cours du temps en un point donné.  Le  signal est échantillonné avec un pas de temps est variable. Notre programme a été construit de la manière suivante sous Matlab :

- extraction des hauteurs d'eau et du temps
- soustraction de la moyenne du signal au signal, pour éviter d'avoir la composante continue dans le spectre en fréquence
- définition d'un pas de temps pour re-échantillonner le signal avec un pas de temps constant : nous l'avons fixé à 0.3s. Ceci implique que tous les signaux d'une période inférieure à 0.5s ne seront pas décelés.
- interpolation du signal avec le nouveau pas de temps
- application de la transformée de Fourier (fonction prédéfinie dans Matlab) sur le nouveau signal
 
 
Bibliographie
P. Chassing. Turbulence en mécanique des fluides. Cépaduès-éditions, coll. Polytech : pages 7-12, 2000
 
 

Retour au plan (Approche théorique)

Vers Simulations numériques

 

Fichier attachéTaille
Transformee_Fourier.odt16.93 Ko

Powered by Drupal - Modified by Danger4k Webmaster :