Structures tourbillonnaires

Dans un écoulement 2D sans rotation, la dynamique du sillage derrière un obstacle est contrôlée par un seul paramètre de contrôle : le nombre de Reynolds qui quantifie l’importance des effets visqueux.

$Re=\frac{UD}{\nu}$    

avec D la longueur caractéristique (en m), U la vitesse du fluide (en m/s), $\nu$ la viscosité cinématique du fluide ($\nu=10^{-6}$ m$^{2}$.s$^{-1}$ pour l'eau à 20°C).

Pour des nombres de Reynolds au-delà d’une valeur critique (environ $Re_{c}=46$), les couches limites qui se forment sur l’obstacle se détachent et s’enroulent pour former des structures tourbillonnaires, composée de tourbillons alternés qui tournent dans un sens et dans l’autre (voir figure ci-dessous).

Schéma du développement de structu derrière un cylindre :
(a) profil de vitesse, (b) double nappe tourbillonnaire, (c) tourbillons décalés.
D'après Marcel LESIEUR, La Turbulence. 

L'obstacle (ici un cylindre) ralentit le fluide derrière lui, en sorte que, si l'on trace un profil de vitesse longitudinale en aval de l'obstacle, on va trouver un déficit de vitesse correspondant sur la figure au cas A, qui peut aussi s'interpréter comme une double couche de mélange. Ceci correspond à la superposition de deux nappes tourbillonnaires, l'une positive (en bas) et l'autre négative (en haut) (cas B). Chacune de ces nappes va être soumise à l'instabilité de Kelvin-Helmholtz (déclenchée par de petites perturbations de vitesse existant dans l'écoulement, en particulier dans les couches limites au voisinage de l'obstacle), et dégénérer en une allée de tourbillons positifs (en bas) et négatifs (en haut) (cas C).

Structures tourbillonnaires derrière un cylindre.

Ces allées tourbillonnaires sont caractérisées par une fréquence d’émission des tourbillons qui leur est propre : le nombre de Strouhal Sr.

$Sr=\frac{fD}{U}$

En considérant le sillage d'un cylindre, celui-ci atteint rapidement une valeur quasi-constante de l’ordre de 0,2 (voir figure ci-dessous).

En considérant sur notre simulation du parcours des îlots larges d'environ 2 mètres et une vitesse de l'écoulement de l'ordre de 1 m/s ($Re \approx 2.10^{6}$), nous pouvons donc nous attendre à observer des allées tourbillonaires de fréquence de l'ordre de 0,1 Hz.

 

Pour résumer, nous pouvons illustrer le sillage d'un cylindre structures tourbillonnaires par un comportement d'oscillateur (voir figure ci-dessous). Les petites perturbations de vitesse, existant dans l'écoulement en amont de l'îlot, déclenchent après celui-ci des instabilités dégénérant en un motif périodique de tourbillons.

D'après Patrick CHASSAING, Mécanique des fluides approfondie: introduction à la turbulence.

 

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